ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITATII

ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITATII

1 GENERALITATI

Problema generala a teoriei elasticitatii este de a determina starea de tensiune si deformatie intr-un corp atunci cand se dau : forma corpului , sistemul de forte ce actioneaza asupra lui , conditiile de contur si constantele elastice : E , G , ν.

Dintr-un corp actionat de un sistem de forte in echilibru , se izoleaza un element paralelipipedic , de volum : DV==dx.dy.dz , incadrat intr-un sistem de coordonate xOyz . Starea de eforturi este cunoscuta daca se cunosc eforturile unitare ce actioneaza pe trei fete plane , perpendiculare . Aceste eforturi unitare reprezinta legaturile elementului de volum considerat cu restul corpului din care a fost izolat . Ele au directii oarecare , dar se pot descompune dupa o directie normala si doua tangentiale , paralele cu axele sistemului de referinta considerat ( figura . 1 ).

Operatia de descompunere pune in evidenta noua componente: . Fiind valabil principiul dualitatii :

( 8 . 1 )

raman doar sase componente distincte .

Deci starea de tensiune spatiala intr-un punct poate fi caracterizata prin tensorul tensiune , scris sub forma matriciala :

( 2 )

Cazuri particulare

a) Starea de tensiune liniara ( studiata in cadrul capitolului : Intinderea / compresiunea) la care exista o singura componenta : σ_x ( figura 2 ).

( 3 )

b) Starea de tensiune plana : cand toate componentele tensorilui tensiune se afla situate in acelasi plan( de exemplu xOy - figura 8 .3 ) Starea plana de tensiune se realizeaza intr-o placa plana solicitata de un sistem de forte in planul ei ( un baraj , un zid de sprijin , un tub cu pereti grosi considerat de lungime infinita )- figura 4 .

In mod uzual , se considera grosimea elementului OBCD izolat din corpul solicitat de sistemul de forte coplanar , unitara .

In starea plana de tensiune tensorul tensiune are numai componente paralele cu axele sistemului xOy :

(8 . 4 )

Daca elementul detasat apartine unei grinzi solicitate la incovoiere , elementele tensorului tensiune sunt :

(8 . 5 )

2 VARIATIA TENSIUNILOR CU INCLINAREA SECTIUNII

DIRECTII PRINCIPALE . TENSIUNI PRINCIPALE

Se pune problema determinarii elementelor tensorului tensiune intr-un paralelipiped detasat din aceeasi grinda , paralelipiped rotit cu unghiul fata de primul ( cel din figura 1). Problema se rezolva considerand o schema plana in care se cunosc : . Se cauta determinarea tensiunilor si pe o sectiune inclinata CD ( figura 5 ).

Acest element este in echilibru . Scriind ecuatiile de echilibru dupa directiile lui σ si τ , considerand fortele ce actioneaza dupa aceste directii asupra elementului

( 8 . 6 )

Impartind relatiile (8 . 6 ) prin aria A, se obtin pentru tensiunile σ si τ expresiile :

( 7 )

Tinand cont de urmatoarele formule trigonometrice :

(8 . 8 )

expresiile ( 7 ) devin :

( 9 )

Relatiile (8 . 9 ) permit calculul tensiunilor dupa orice directii .

Se observa ca aceste valori sunt in functie de sinusul si cosinusul unghiului . Acestea fiind functii periodice , se vor obtine valori maxime respectiv minime . In practica inginereasca intereseaza aceste valori .

Directiile dupa care aceste eforturi au valori extreme se numesc directii principale , iar valorile corespunzatoare ale tensiunilor - tensiuni principale .

Expresiile tensiunilor principale se obtin derivand relatiile (8 . 9 ) in raport cu

(8 . 10 )

Se observa ca derivata calculata este -τ , deci pe directiile principale , tensiunile tangentiale sunt nule .

Din relatia (8 . 10 ) rezulta valoarea unghiului pe care il fac directiile principale cu axele sistemului considerat :

(8 . 11 )

Cum functia tangenta are perioada p , pe un cerc intreg vor exista doua directii : 2 , diferind intre ele prin unghiul p , respectiv directiile diferind prin p/2 , deci vor fi perpendiculare .

Cu ajutorul expresiei ( 11 ) se obtin relatiile :

(8 . 12 )

Inlocuind acestevalor in expresiile tensiunilor , si notind si tensiunile principale , se obtine :

(8 . 13 )

unde se ia semnul ( - ) pentru σ₁ si (+) pentru σ₂ , intotdeauna , σ₁>σ₂ .

Pentru tensiunea principala τ se procedeaza in acelasi mod :

( 8 . 14 )

de unde :

( 8 . 15 )

deci directiile 2 si 2 ' sunt perpendiculare , directiile si ' fac unghiul 45 , iar tensiunile tangentiale sunt maxime la 45 fata de tensiunile principale normale . Tensiunile tangentiale principale sunt :

( 8 . 16 )

respectiv , cele doua tensiuni sunt egale si de semn contrar , ceea ce confirma dualitatea tensiunilor tangentiale .

3 REPREZENTAREA GRAFICA A VARIATIEI TENSIUNILOR

CERCUL LUI MOHR

S-a vazut ca pe directiile principale tensiunile tangentiale sunt nule . Se considera urmatoarea situatie ( figura 6 ).

(8 . 17 )

Directiile principale fiind Ox si Oy ,tensiunile vor fi :

( 8 . 18 )

in sectiunea inclinata cu unghiul ( pe latura CD) se poate scrie :

(8 . 19 )

Relatiile ( 8 . 19 ) pot fi scrise si sub forma :

( 8 . 19')

Ridicand ambele relatii ( 8 . 19') la patrat si adunandu-le, se obtine :

(8 . 20 )

ceea ce reprezinta ecuatia unui cerc , numit cercul lui Mohr - pentru starea plana de tensiune .( figura 7 ) . Acest cerc are centrul pe axa Oσ , la distanta si raza:.

Tensiunile pe o sectiune inclinata cu unghiul α fata de Oσ , se determina ducand raza DB, care face unghiul 2α cu axa Oσ , si masurand coordonatele punctului B .Se poate demonstra ca suma tensiunilor normale pe doua sectiuni perpendiculare este constanta , sau :

(8 . 21 )

deci , este un invariant , iar , tensiunile tangentiale pe cele doua sectiuni perpendiculare satisfac principiul dualitatii .

CAZURI PARTICULARE ALE STARII PLANE DE TENSIUNE

a) Starea liniara de tensiune ( intinderea / compresiunea )

- se caracterizeaza prin :

( 22 )

iar :

( 23 )

b) Starea de tensiune la bara solicitata la incovoiere :

La bara solicitata la incovoiere , , deci :

( 24 )

σ_x , τ_xy fiind tensiunile intr-un punct al sectiunii transversale situat la distanta y de axa neutra . Ele se calculeaza cu formulele lui Navier , respectiv Juravski:

( 25 )

5 STAREA PLANA DE DEFORMATIE

Starea plana de deformatie are loc atunci cand intr-un element de volum paralelipipedic au loc numai deformatii specifice intr-un simgur plan . Daca planul este xOy , acestea vor fi : . Scriind sub forma matriciala , tensorul deformatiilor va avea extresia :

(8 . 26 )

Este valabila legea dualitatii lunecarilor specifice : g_xy g_yx . Se vor stabili in continuare relatiile ce exista in starea plana de deformatie intre deformatiile specifice si deplasari ( figura 8 ) .

   

In starea plana de deformatie , un element de volum paralelipipedic , de laturi dx , dy , dz , se va deforma elastic ( conform ipotezelor din teoria elasticitatii ) numai intr-un singur plan . Fie acesta xOy . Deci punctul O va suferi o deplasare u dupa Ox si v dupa Oy ( figura 8 ). Punctul A situat pe Ox la distanta dx , se va deplasa cu : .Lungirea elementului dupa Ox se va obtine facand diferenta dintre deplasarile punctelor O si A :

( 27 )

Lungirea specifica dupa Ox , se va obtine prin impartirea expresiei ( 8 . 27 ) prin dx :

( 8 . 28 )

In mod analog se determina lungirea specifica dupa Oy :

( 8 . 29 )

Punctul A se va deplasa si in lungul axei Oy :

( 8 . 30 )

Punctul B are o deplasare in lungul axei Ox:

( 8 . 31 )

Deci , dreptunghiul elementar OABC se deformeaza , devenind patrulater oarecare O'A'B'C'. Deoarece , deplasarile sunt inegale , latura OA se va inclina cu unghiul dj , care va avea expresia :

( 8 . 32 )

Latura OB se roteste cu unghiul dj

( 8 . 33 )

Lunecarea specifica in planul xOy se obtine insumand cele doua rotiri :

( 8 . 34 )

6 STATEA SPATIALA DE TENSIUNE

TENSIUNI PE O SUPRAFATA INCLINATA

Starea de tensiune din interiorul unui material se cunoaste cu ajutorul unui paralelipiped elementar de laturi dx , dy , dz ( figura 1 ) asezat cu centrul sau cu unul din colturi in punctul considerat .

Asa cum s-a vazut , pe fiecare fata a paralelipipedului actioneaza o tensiune dirijata arbitrar , care poate fi descompusa dupa normala la fata si doua directii tangentiale . Trebuie determinata variatia tensiunii pe un plan inclinat DCB ( figura 9 ) .

In cele trei fete corespunzatoare axelor de coordonate actioneaza tensiunile : σ_x , σ_y , σ_z , τ_xy=τ_yx , τ_xz=τ_zx , τ_yz=τ_zy .

Pe planul inclinat ,BCD , caracterinat de normala ai carei cosinusi directori sunt cunoscuti , l , m , n , actioneaza tensiunea p , de directie oarecare . Ea poate fi descompusa dupa axe paralele cu cele ale sistemului considerat in p_x , p_y , p_z . Notand aria triunghiului DCB cu A , se obtin ariile triunghiurilor :

( 8 .35 )

Scriind ecuatiile de proiectii dupa cele trei axe ale sistemului considerat , si impartind prin A , se obtin relatiile :

( 8 . 36 )

Cu ajutorul componentelor tensiunii , date de relatiile ( 8 . 36 ) se poate calcula tensiunea:

( 8 . 37 )

Tensiunea p se poate descompune si dupa o componenta normala σ si una tangentiala τ continuta in planul sectiunii . Componenta σ se obtine proiectand p pe directia normalei : , sau inlocuind componentele p_x , p_y , p_z , se obtine :

(8 . 38 )

Cu valorile σ si p cunoscute se calculeaza τ :

( 8 . 39 )

7.TENSIUNI PRINCIPALE

Pe directia normalei la planul DBC, se considera un vector de modul :

( 40 )

respectiv :    ( 40')

Coordonatele extremitatii acestui vector , se pot scrie cu ajutorul cosinusilor directori ai normalei cu care este coliniar :

sau ( 8 . 41 )

Locul geometric al extremitatilor vectorului v , cand suprafata DBC ia orice inclinare, se obtine inlocuind expresiile (8 . 40') , ( 41 ) in ( 38 ):

In urma simplificarii rezulta :

(8 . 42 )

ceea ce reprezinta ecuatia unei suprafete in spatiu .

Daca axele sistemului se schimba , se schimba coeficientii din ecuatia (8 . 42 ) , insa suprafata ramane invariabila in spatiu . Facand o schimbare convenabila de axe , si anume raportand suprafata la propriul sistem de axe , termenii ce contin tensiunile tangentiale dispar. Tensiunile corespunzatoare σ₁ . σ₂ , σ₃ , vor fi principale , iar directiile corespunzatoere , directii principale .

Se considera ca planul BDC este planul principal , deci normala la plan corespunde directiei principale , deci tensiunea p este dirijata dupa normala la plan , se noteaza cu σ , in timp ce τ=0 .Proiectand aceasta tensiune dupa axele sistemului se obtin:

( 43 )

Inlocuind aceste valori in expresiile proiectiilor obtinute anterior :

(8 . 44 )

Cosinusii directori satisfac relatia :

( 45 )

Pentru ca sistemul ( 44 ) sa admita solutie diferita de cea banala , determinantul coeficientlor sa fie nul :

(8 . 46 )

Dezvoltand determinantul , si facand urmatoarele notatii :

(8 . 47 )

se obtine ecuatia :

( 48 )

ale carei solutii sunt tensiunile principale σ₁>σ₂>σ₃ .

Tensiunile tangentiale sunt maxime la 45 fata de directiile principale si au valorile :

( 49 )

tensorul tensiune este :

( 8 . 50 )

STAREA SPATIALA DE DEFORMATIE

In starea spatiala de deformatie , tensorul deformatiilor va fi :

( 51 )

format din sase componente distincte :

( 52 )

In mod analog cu starea de tensiune , se demonstreaza ca exista trei directii pentru care lunecarile specifice sunt nule, alungirile specifice . Aceste directii sunt directii principale de deformatie , si le corespunde tensorul :

( 8 . 53 )

In mod analog starii plane de deformatie se demonstreaza ca deplasarile si g in functie de deplasarile u , v , w :

( 8 . 54 )

( 55 )

9 LEGEA LUI HOOKE GENERALIZATA

Consideram un element de volum paralelipipedic , pe ale carei fete actioneaza :σ₁ , σ₂, σ₃ .

In cazul starii limita de tensiune , legea lui Hooke se scrie :

(8 . 56 )

iar deformatia transversala este :

(8 . 57 )

in care ν - reprezinta coeficientul lui Poisson .

Se aplica elementului de volum considerat , trei stari succesive de solicitare ( figura 10)

Exista numai σ₁ ( σ₂=σ₂=0 )

In acest caz , se produc :

o lungire specifica '₁ pe directia lui σ₁, si doua scurtari ( contractii )

( 8 . 58 )

2 ) Exista numai σ₂ ( σ₁=σ₃=0)

In acest caz , se produc :

o lungire specifica ''₂ , si doua scurtari

( 8 . 59 )

3 ) Exista numai σ₃ ( σ₁=σ₂=0)

In acest caz , se produc :

o lungire specifica "'₃ , si scurtarile

(8 . 60 )

Cand actioneaza simultan cele trei tensiuni principale , deformatia totala se obtine prin adunarea efectelor de mai sus ( conform principiului suprapunerii efectelor ):

( 61 )

In mod analog , schimband notatiile axelor de coordonate x , y , z:

(8 . 62 )

De oarece aceste axe nu sunt cele principale , exista tensiuni tangentiale , deci vor exista si lunecari specifice :

( 63 )

Relatiile (8 . 62 ) si ( 63 ) reprezinta legea lui Hooke generalizata .

In cazul particular al starii plane de tensiune , legea lui Hooke se obtine particularizand in relatiile (8 . 62 ) si ( 8 .63 ) : σ_z =0 , τ_yz=τ_zy=0

( 8 . 64 )0

Se observa ca starii plane de tensiune , ii corespunde o stare spatiala de deformatie .