Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme

Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
TRIUNGHIUL ISOSCEL


TRIUNGHIUL ISOSCEL



TRIUNGHIUL ISOSCEL

In aceasta lucrare sunt prezentate o serie de proprietati caracteristice triunghiului isoscel.

Definitie. Se numeste triunghi isoscel, triunghiul care are doua laturi congruente.

T1: Un triunghi este isoscel daca si numai daca are doua unghiuri congruente.

"" Ip. D ABC, AB = AC

Cl. ÐABC º ÐACB.

Dem. Fie AD ^ BC, D I (BC).

D ADB º D ADC Ð ABC º Ð ACD, qed.

A

"" Ip. D ABC, ÐABC º ÐACB.

Cl. AB = AC.

Dem. Fie AD ^ BC. B D C

T2: Un triunghi este isoscel daca si numai daca o bisectoare este si inaltime.

"" Ip. D ABC, AB = AC, ÐBAD º ÐCAD, D I (BC).

Cl. AD ^ BC. A

Dem. D ABD º D ACD (LUL)

Ð ADB º Ð ADC si cum sunt si unghiuri suplementare B D C

m(ÐADB) = m(ÐADC) = 90 AD ^ BC, qed.

"" Ip. D ABC, Ð BAD º Ð CAD, AD ^ BC, D I (BC).

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. este isoscel, qed.

Se stie ca intr-un triunghi (deci si in triunghiul isoscel), inaltimile sunt concurente intr-un punct H numit ortocentrul triunghiului. De asemenea, intr-un triunghi (deci si in triunghiul isoscel), bisectoarele sunt concurente intr-un punct I care este centrul cercului inscris triunghiului. Avand in vedere aceste teoreme, din T2 rezulta urmatoarea consecinta:

Consecinta 1. Un triunghi este isoscel daca si numai daca dreapta determinata de punctele H si I contine un varf al triunghiului, unde H si I sunt ortocentrul respectiv centrul cercului inscris triunghiului.

T3: Un triunghi este isoscel daca si numai daca o mediana este si inaltime.

" " Ip. D ABC, AB = AC, D I (BC), BD = CD.

Cl. AD ^ BC.

Dm. D ABD º D ACD (LLL) Ð ADB º Ð ADC si cum sunt si unghiuri suplementare m(ÐADB) = m(ÐADC) = 90 A

AD ^ BC, qed.

"" Ip. D ABC, D I (BC), BD = CD, AD ^ BC.

Cl. D ABC este isoscel. B D C

Dem. AB = AC D ABC este isoscel, qed.

Observatie. Daca intr-un triunghi, o mediana este si inaltime atunci, mediana este o mediatoare a triunghiului; daca o inaltime este si mediana atunci, inaltimea este o mediatoare a triunghiului.

Se stie ca, intr-un triunghi (deci si in triunghiul isoscel), mediatoarele sunt concurente intr-un punct O care este centrul cercului circumscris triunghiului. De asemenea, se stie ca, intr-un triunghi (deci si in triunghiul isoscel), medianele sunt concurente intr-un punct G

numit centrul de greutate al triunghiului. Avand in vedere aceste teoreme, din teorema T3 rezulta urmatoarele consecinte:

Consecinta 2. Un triunghi este isoscel daca si numai daca dreapta determinata de punctele H si G contine un varf al triunghiului, unde H si G sunt ortocentrul respectiv centrul de greutate al triunghiului.

Consecinta 3. Un triunghi est isoscel daca si numai daca dreapta determinata de punctele G si O contine un varf al triunghiului, unde G si O sunt centrul de greutate respectiv centrul cercului circumscris triunghiului.

Consecinta 4. Un triunghi este isoscel daca si numai daca dreapta determinata de punctele H si O contine un varf al triunghiului, unde H si O sunt ortocentrul respectiv centrul cercul circumscris triunghiului.

T4: Un triunghi este isoscel daca si numai daca o mediana este si bisectoare.

"" Ip. D ABC, AB = AC, D I (BC), BD = CD.

Cl. [AD este bisectoare.

Dem. A

* Ð BAD º Ð CAD [AD este bisectoarea

unghiului BAC, qed. B D C

"" Ip. D ABC, D I (BC), BD = CD, Ð BAD º Ð CAD.

Cl. D ABC este isoscel. A

Dem. Fie A' simetricul lui A fata de punctul D.

B D C

* AC = BA' si Ð DAC º Ð DA'B. A'

Dar Ð DAC º Ð BAD (ip.) si atunci rezulta ca Ð DA'B º Ð BAD D ABA' este isoscel AB = A'B. Insa A'B = AC (din demonstratia anterioara) si atunci AB = AC D ABC este isoscel, qed.

Din teorema T4 rezulta urmatoarele consecinte:

Consecinta 5. Un triunghi este isoscel daca si numai daca dreapta determinata de punctele G si I contine un varf al triunghiului, unde G si I sunt centrul de greutate respectiv centrul cercului inscris triunghiului.

Consecinta 6. Un triunghi este isoscel daca si numai daca dreapta determinata de punctele I si O contine un varf al triunghiului, unde I si O sunt centrul cercului inscris respectiv centrul cercului circumscris triunghiului.

T5: Un triunghi este isoscel daca si numai daca are doua inaltimi congruente.

" " Ip. D ABC, AB = AC, BB' ^ AC, CC' ^ AB, B' I AC, C' I AB.

Cl. BB' = CC'. A

Dem. C' B'

D AB'B º D AC'C (LUL) BB' º CC', qed.

"" Ip. D ABC, BB' ^ AC, CC' ^ AB, B C

BB' = CC', B' I (AC), C' I (AB).

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. D ABC este isoscel, qed.

T6: Un triunghi este isoscel daca si numai daca o paralela dusa la o latura a

triunghiului formeaza cu celelalte doua laturi un triunghi isoscel.

" " Ip. D ABC, AB = AC, d o dreapta paralela A

cu BC, d AB = , d AC = . d M N

Cl. D AMN este isoscel.

Dem. Dreptele paralele d si BC formeaza B C

cu secanta AB unghiurile AMN si ABC congruente (coresp.) si cu secanta AC unghiurile ANM si ACB congruente (coresp.). Cum Ð ABC º Ð ACB (ip.) Ð AMN º Ð ANM

D AMN este isoscel, qed.

"" Ip. D ABC, d o dreapta paralela cu BC, d AB = , d AC = , AM º AN.

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. Dreptele paralele d si BC formeaza cu secanta AB unghiurile AMN si ABC congruente (coresp.) iar cu secanta AC unghiurile ANM si ACB congruente (coresp.). Avem AM = AN (ip.) Ð AMN º Ð ANM de unde rezulta ca si Ð ABC º Ð ACB

*D ABC este isoscel, qed.

T7: Un triunghi este isoscel daca si numai daca exista un unghi exterior triunghiului a

carui bisectoare sa fie paralela cu o latura a triunghiului. x

"" Ip. D ABC, AB = AC, [Ay bisectoarea unghiului exterior CAx. A y

Cl. Ay || BC.

Dem. AB = BC Ð ABC º Ð ACB. B C

Dar Ð CAx este exterior triunghiului ABC si atunci m(Ð CAx) = m(Ð ABC) + m(Ð ACB) =

= 2 m(Ð ACB) m (Ð CAy) = m( Ð ACB) Ay || BC

deoarece, formeaza cu secanta AC unghiuri alterne interne congruente. Exista deci un unghi exterior triunghiului ABC a carui bisectoare este paralela cu o latura a triunghiului; acest unghi este CAx, qed.

"" Ip. D ABC, Ð CAX este exterior triunghiului, [Ay bisectoarea unghiului CAx,

Ay || BC.

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. Dreptele paralele Ay si BC formeaza cu secanta AC unghiurile BCA si CAy congruente (alt. int.) iar cu secanta AB unghiurile ABC si xAy congruente (coresp.). [Ay fiind bisectoare (ip.) Ð xAy º Ð CAy de unde rezulta ca Ð BCA º Ð ABC D ABC este isoscel, qed.

T8: Un triunghi este isoscel daca si numai daca exista doua unghiuri exterioare triunghiului a caror bisectoare sa se intersecteze intr-un punct de pe mediatoarea unei laturi a triunghiului.

"" Ip. D ABC, AB = AC, Ð CBx si Ð BCy sunt unghiuri exterioare a caror bisectoare se

intersecteaza in punctul D.

Cl. D apartine mediatoarei laturii (BC).

Dem. Daca triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC atunci, Ð ABC º Ð ACB

Ð CBx º Ð BCy (fiind suplemente de unghiuri congruente) Ð CBD º Ð BCD (deoarece [BD si [CD sunt bisectoare, conform ipotezei) D BCD este isoscel cu BD = CD

si deci, D apartine mediatoarei laturii (BC). A

Daca triunghiul este isoscel, atunci exista

doua unghiuri exterioare triunghiului a caror

bisectoare se intersecteaza pe mediatoarea B C

unei laturi a triunghiului, qed.

" " Ip. D ABC, Ð BCy si Ð CBx sunt x y

unghiuri exterioare a caror bisectoare se D

intersecteaza in D si D apartine mediatoarei laturii (BC).

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. Daca D apartine mediatoarei laturii (BC) atunci, D DBC este isoscel cu DB = DC Ð CBD º Ð BCD CBx º Ð BCy (deoarece [BD si [CD sunt bisectoare, conform ipotezei) Ð ABC º Ð ACB (ca suplemente de unghiuri congruente) D ABC este isoscel, qed.

T9: Un triunghi este isoscel daca si numai daca exista un unghi exterior triunghiului a

carui masura sa fie egala cu dublul masurii unui unghi a triunghiului, neadiacent

cu unghiul exterior.

"" Ip. D ABC, AB = AC, Ð CAx este exterior triunghiului ABC. x

Cl. m(Ð CAx) = 2 m(Ð ACB).

Dem. Daca Ð CAx este exterior A

triunghiului ABC atunci, m(Ð CAx) = m(Ð ABC) +

+ m(Ð ACB) = 2 m(Ð ACB) deoarece

Ð ABC º Ð ACB (ip.), qed.

"" Ip. D ABC, Ð CAx este exterior B C

triunghiului ABC, m(Ð CAx) = 2 m(Ð ACB).

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. Deoarece Ð CAx este exterior triunghiului ABC m(Ð CAx) = m(Ð ACB) + m(Ð ABC). Dar m(Ð CAx) = 2 m(Ð ACB) (ip.) m(Ð ACB) + m(Ð ABC) =

= 2 m(Ð ACB) m(Ð ABC) = m(Ð ACB) D ABC este isoscel, qed.

Definitie. Se numeste triunghi median (complementar) triunghiul determinat de

picioarele medianelor unui triunghi.

T10: Un triunghi este isoscel daca si numai daca triunghiul median (complementar)

este isoscel. A

"" Ip. D ABC, AB = AC, (AD), (BE), (CF), mediane,

D I (BC), E I (AC), F I (AB). F E

Cl. D DEF este isoscel.

Dem. (DE) si (DF) sunt linii mijlocii B D C

in D ABC (ip.) DE = si DF =. Insa AB = AC (ip.) si atunci, DE = DF D DEF este isoscel, qed.

"" Ip. D ABC, (AD), (BE) si (CF) sunt mediane, D I (BC), E I (AC), F I (AB), D DEF este isoscel cu DE = DF.

Cl. D ABC este isoscel.

Dem. (DE) si (DF) fiind linii mijlocii in D ABC (ip.) DE = si DF = . Insa DE = DF (ip.) de unde rezulta ca AB = AC D ABC este isoscel, qed.



Matematica


Statistica

Vectori
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Impartirea la binomul . Schema lui Horner
Functii inversabile
Siruri de numere reale
TRIUNGHIUL ISOSCEL
Elipsoidul
VECTORI
REPREZENTAREA GEOMETRICA A NUMERELOR COMPLEXE
Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare

















 
Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate