Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare


Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare




Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare

          1. Aspecte generale

          Modelul general al unui sistem de ecuatii neliniare de ordinul n are forma:

                                                                  (1)

unde functiile reale f1, f2, , fn depind de varibilele reale x1, x2, , xn, fiind continue in domeniul de interes.



          Daca se introduc notatiile:

[x] = [x1  x2 xn]t

Á = [f1  f2 fn]t

sistemul (1) poate fi scris sub forma:

          Á (x) = 0,   Á : Rn ® R                                                             (2)

          A determina o solutie a sistemului  (1) inseamna a gasi un set de valori [x*] = [x*1  x*2 x*n ]t care satisfac relatiile (1), adica Á(x*) = 0.

          Toate metodele practice de rezolvare a sistemului de ecuatii neliniare (1) sunt metode de tip iterativ. In principiu, exista trei mari categorii de metode iterative de rezolvare:

·         Metode bazate pe exprimarea explicita echivalenta a ecuatiilor sistemului, denumite metode de aproximatii succesive;

·         Metode care folosesc derivatele partiale ale functiilor fi, denumite metode de tip Newton;

·         Metode de minimizare, numite metode de gradient.

          2.  Metode de tip Newton

          Principala trasatura a metodelor de tip Newton o reprezinta utilizarea derivatelor partialeale functiilor fi care definesc problema. Cel mai adesea se folosesc numai derivatele de ordinul 1. Varianta clasica a metodei Newton se caracterizeaza prin performante foarte bune cand aproximatia initiala se afla suficient de aproape de solutia exacta.

          2.1. Metoda Newton

          Pentru sistemul de ecuatii liniare (1) metoda Newton apeleaza la o serie de aproximari care conduc la liniarizarea problemei. In final, problema se reduce la rezolvarea unui sir de sisteme de ecuatii liniare, pentru care se poate aplica oricare dintre metodele de rezolvare directa sau iterativa.

          Daca se admite ca la iteratia k s-a determinat o aproximatie [xk] = [xk1  xk2 xkn ]t, care se abate de la solutia exacta [x*] cu vectorul [ek] = [ek1  ek2 ekn ]t atunci:

                                                                            (3)

          In ipoteza ca abaterile eki ( i = 1, , n) sunt suficient de mici, functiile fi([x*]) pot fi dezvoltate in serii Taylor in jurul punctului [xk], retinand numai termenii de ordinul 1:

                                                            (4)

          Expresia (4) poate fi scrisa sub forma matriceala:

                                                             (5)

unde matricea J, formata din derivatele partiale ale functiilor care definesc sistemul neliniar, este matricea Jacobian:

                                                            (6)

          Deoarece [x*] reprezinta solutia exacta a problemei (1), Á([x*]) se anuleaza, astfel incat, din relatia (5) rezulta

                                                                    (7)

care reprezinta un sistem de ecuatii liniare care are ca necunoscute corectiile [ek].

          Dupa rezolvarea acestui sistem si inlocuirea lui [ek] in relatia (3), teoretic putem determina solutia [x*]. Insa, datorita neglijarilor facute la dezvoltarea in serii Taylor corectiile [ek] determinate cu relatia (7) nu  ai asigura deplasarea completa din aproximatia [xk] pana la solutia exacta [x*], ci pana la o noua aproximatie a acesteia:




                                                                         (8)

          Expresiile (7) si (8) reprezinta relatiile de recurenta pe baz carora se desfasoara procesul iterativ al metodei Newton, pornind de la o solutie aproximativa [x0].

          Controlul convergentei/divergentei se face prin impunerea unui numar maxim de iteratii.

          Algoritmul asociat metodei Newton este prezentat in Fig. 1.

 

1.                Definirea sistemului de ecuatii liniare: rangul n, functiile fi(x) si derivatele partiale fi / xj (i, j = 1, , n);

2.                Definirea parametrilor de iterare: abaterea maxima admisa a aproximatiilor in doua iteratii succesive Emax, abaterea maxima admisa a functiilor fi fata de zero Ef si numarului maxim de iteratii Nmax;

3.                Definirea aproximatiei initiale xi (i = 1, , n) si calculul valorilor functiei fi(x) (i = 1, , n);

4.                Calculul iterativ:

 4.1. Initializarea procesului iterativ: it = 0;

 4.2. Daca s-a atins numarul maxim de iteratii (it = Nmax) se incheie procesul    

        iterativ si se  trece la pasul 5;

 4.3. Trecerea la o noua iteratie: 

                                                      it = it +1

 4.4. Memorarea aproximatiei din iteratia anterioara: zi = xi (i = 1, , n);

 4.5. Calculul matricei Jacobian pentru aproximatia curenta:

      

                                           Jij = fi / xj | x ,   (i, j = 1, , n);

             4.6. Rezolvarea sistemului de ecuatii liniare: J × dx = - Á;

4.7. Calculul noii aproximatii: xi = xi +dxi (i = 1, , n);

4.8. Calculul valorilor fuctiilor Á pentru noua aproximatie: fi (x) (i = 1, , n);

4.9. Calculul abaterilor DX = max (|xi - zi|);  Df = max (|fi (x)|);

                                                  i                                               i

4.10. Stabilirea valorii criteriului de oprire;

4.11. Se revine la pasul 4.2.

5.        Stabilirea conditiilor de iesire din bucla iterativa;

           -      Daca DX £ Emax (metoda converge), se afiseaza solutia aproximativa si

                  numarul de iteratii efectuate;

-          Daca DX > Emax, dar it = Nmax (metoda nu converge), se afiseaza mesajul   "Depasire numar maxim iteratii".   

         

          Mersul lucrarii

1.             Se studiaza textul lucrarii si metoda de rezolvare numerica a sistemului de ecuatii liniare.

2.       Se elaboreaza programul de calcul.

3.       Se testeaza programul de calcul.

4.       Se solutioneaza cateva aplicatii numerice semnificative, prezentandu-se rezultatele.  






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Metoda puterii
OPERATII CU FRACTII
Functii inversabile
TRIUNGHIURI CONGRUENTE
Triedrul lui Frenét
INEGALITATI SI INDUCTIA MATEMATICA
REPREZENTAREA GEOMETRICA A NUMERELOR COMPLEXE
Relatii binare intre multimi
Definitii, exemple. Legatura cu H
Elipsoidul