Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» INEGALITATI SI INDUCTIA MATEMATICA


INEGALITATI SI INDUCTIA MATEMATICA




INEGALITATI SI INDUCTIA MATEMATICA



Inegalitatea mediilor afirma faptul ca daca sunt numere nenegative, atunci:

egalitatea avand loc doar in cazul cand .

Fixand , orice numar nenegativ a se poate scrie in mod unic sub forma xn cu ; nu este altcineva decat radicalul de ordinul n al lui a. Ca atare, inegalitatea mediilor se poate reformula astfel:

pentru orice familie de numere nenegative, egalitatea avand loc doar atunci cand .

Vom indica in continuare o demonstratie a inegalitatii mediilor in forma . Prima demonstratie se bazeaza pe urmatoarea observatie:

Lema 1. Are loc inegalitatea:

,

pentru orice si orice (egalitatea avand loc numai pentru ).

Demonstratie. Intr-adevar:

ultima paranteza dreapta fiind strict pozitiva.

Substitutia in Lema 1 conduce la urmatorul rezultat:

Corolarul 1. Avem:

,

pentru orice si orice (egalitatea avand loc numai daca ).

Inegalitatea rezulta acum prin inductie matematica.

Cazul este banal. Presupunand ca inegalitatea are loc pentru toate familiile de numere nenegative, de lungime n, sa consideram o familie , de numere nenegative, de lungime . Daca cel putin unul dintre numerele xk este nul atunci inegalitatea corespunzatoare este banala. Consideram cazul cand toate numerele xk sunt strict pozitive. Atunci:




,

potrivit ipotezei de inductie si Corolarului 1. Analiza cazului de egalitate ne arata ca acesta are loc daca si numai daca toate numerele xk sunt egale.

Corolarul 1 a fost utilizat la finalul demonstratiei de mai sus pentru a demonstra inegalitatea:

,

cu observatia ca egalitatea are loc numai daca toate numerele xk sunt egale. Aceasta insa mai poate fi argumentata si cu ajutorul inegalitatii lui Cebisev. Intr-adevar, din motive de invarianta la permutari, putem presupune ca si atunci , deci ne aflam in cazul de aplicabilitate a inegalitatii lui Cebisev pentru familii de monotonie opusa.

Ideea de a folosi inegalitatea lui Cebisev pentru a demonstra inegalitatea mediilor nu este complet noua. Ea apare si in articolul [4], dar abordarea noastra este mai simpla. Alte demonstratii ale acestei celebre inegalitati mai pot fi gasite in paginile Gazetei Matematice, ca si in numeroase alte reviste si monografii (de exemplu, [1]).

Sa reamintim in incheiere faptul ca inegalitatea mediilor nu este altceva decat o reflectare a proprietatii de convexitate stricta a functiei exponentiale ex (sau de concavitate stricta a functiei logaritm ln). Aceste proprietati se traduc in inegalitati cu ponderi ale mediilor, mai generale decat sau :

, (R)

pentru orice familie de numere nenegative, nu toate egale, si orice familie de numere strict pozitive, cu suma 1. Trecerea de la cazul al inegalitatii (R) la cazul general este astfel asigurat de inegalitatea lui Jensen. Cititorii vor putea demonstra cu usurinta cazul folosind calculul diferential (considerand pe drept parametri si pe x1 drept variabila).






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Matricea Exponentiala
Triedrul lui Frenét
Metoda aproximatiilor succesive
Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Functii bijective
Produs cartezian
Impartirea la binomul . Schema lui Horner
Definitii, exemple. Legatura cu H