Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Definitii, exemple. Legatura cu H


Definitii, exemple. Legatura cu H




Definitii, exemple. Legatura cu H

Definitia I.1. Fie (C,,) o coalgebra si (M,) un C-comodul la dreapta. Notam cu spatiul morfismelor de comodule de la C la M si il numim spatiul integralelor.



In particular, daca H este o k-bialgebra, k-corp comutativ, vom numi integrala la stanga a bialgebrei H, un morfism de H-comodule stangi T:Hk (unde structura de H-comodul stang a lui k este data de ).

Daca H este bialgebra, H are o structura de algebra duala structurii de coalgebra a lui H astfel: daca f,gH atunci fgH si (fg)(h)=f(h)g(h),oricare ar fi hH.

Definitia I.2. TH se numeste integrala la stanga pentru bialgebra HhT=h(1)T,oricare ar fi hH.

Multimea integralelor la stanga pentru H se noteaza cu .

Propozitia I.3. Cele doua moduri in care au fost definite integralele la stanga sunt echivalente.

Demonstratie:

hT=h(1) T, ()hH (hT)(h)=h(1)T(h) , ()hH si hH h , ()hH si ()hH , ()hH.

Pe de alta parte, T este morfism de H-comodule stangi T=(IT) ()hH T(h) ()hH.

In mod analog se defineste si multimea integralelor la dreapta pentru H, notata (ele sunt de fapt integralele la stanga pentru H sau morfismele de H-comodule drepte de la H la k ).

Observatii I.4. :

i). este subspatiu vectorial al lui H.

ii). este chiar ideal al algebrei H.

Daca gH, h(gT)=(hg)T=(hg)(1)T=hgT) gT.

De asemenea h(Tg)=(hT)g=(h(1)T)g=h(1)(Tg) Tg.

Sa ne reamintim ca M este C-modul rational, unde C este o coalgebra pentru orice mM, exista doua familii finite de elemente M si C astfel incat cm= (C.

Tinand cont de acest fapt (suma idealelor stangi rationale ale lui H). Deci daca .

Vom prezenta acum cateva exemple de bialgebre , dintre care unele au integrale nenule, altele nu.

Exemple I.5.

i). Fie G un monoid, B=kG algebra monoidala, inzestrata cu structura de bialgebra si F(kG), F(g)= unde 1 este elementul identitate al monoidului.

(hF)(g)=h(g)F(g)=h(1)F(g) F e integrala la stanga.

Cum B este cocomutativa B e comutativa F este integrala la dreapta.

ii). Fie H un spatiu vectorial cu baza . Definind si obtinem o structura de algebra pe H.

Definind si obtinem o structura de coalgebra pe H. Cele doua structuri fac din H o bialgebra si H=k[[X]] (seriile de puteri in nedeterminata X). Identificand Hcu k[[X]], daca PH, <P,1> este chiar termenul liber, adica P(0). Sa presupunem acum ca Q ar fi o integrala si sa alegem un P 0, astfel incat P(0)=0.

Atunci PQ=P(0)Q=0.

Dar cum k[[X]] este integru Q=0.Deci H nu are integrale nenule.

iii)Fie H=H(C,n,c,c,a,b)o algebra Hopf obtinuta cu ajutorul extinderilor Ore.

Daca gC si w=, fie EH morfismul care duce pe gX in 1 si toate celelalte elemente ale bazei in 0. Se poate demonstra prin calcul direct ca E, unde h=si n-1= este integrala la stanga , iar E, unde 1 este element neutru al grupului C, este integrala la dreapta.

Vom vedea acum de unde provine numele de integrala.

Fie G un grup compact. O integrala Haar pe G este , o functionala lineara pe spatiul

functiilor continue de la G la R care e invarianta la translatii, adica continua si Restrictia lui la algebra Hopf a functiilor continue reprezentative pe G, este o integrala in sensul dat de definitia I. 2, caci:

si , (xf)=(f)





Daca H este o algebra Hopf finit dimensionala, poate fi dat si un alt sens notiunii de integrala. H fiind algebra Hopf , are sens sa vorbim despre integralele pentru H, care sunt elemente din H. Fie insa izomorfismul canonic. Orice element din H este de forma . Deci relatia din definitia I.2 devine:

Deci putem da definitia urmatoare:

Definitia I.6.: Daca H este o algebra Hopf finit dimensionala, vom numi integrala la stanga in H un element astfel incat

Exemple I.7.

i). Daca G este un grup finit, atunci este integrala la stanga (si la dreapta) in kG.

ii). Daca H este algebra Hopf a lui Sweedler, atunci este integrala la stanga, iar este integrala la dreapta.

iii). Daca k este un corp de caracteristica si H=k[X]/, Atunci H este algebra Hopf si cu , iar este o integrala cu

Definitia I.8. Vom spune ca o algebra Hopf H finit dimensionala este unimodulara spatiul integralelor la stanga si la dreapta in H coincid.

Observatie: Exista algebre Hopf cocomutative care nu sunt unimodulare.

Fie H o algebra Hopf si H partea sa rationala la stanga. H este un H-modul stang rational si deci un H-comodul drept cu structura data de , astfel incat

De asemenea H devine H-modul stang cu actiunea: , Aceasta induce o structura de H-modul drept pe H astfel :

*

Teorema I.9. H este un H-submodul drept al lui H (cu actiunea " ").Aceasta structura de H-modul drept si structura de H-comodul drept data de determina pe Ho structura de H-Hopf modul drept.

Demonstratie:

Fie si . Fie si Avem:

Deci Rezulta ca si ca

, deci ca H este un H-Hopf modul drept.

Lema I.10. Subspatiul coinvariantilor (H)este chiar .

Demonstratie: Fie . Atunci

Teorema I.11. Functia definita prin

si este un izomorfism de H-Hopf module drepte.

Demonstratie: Este chiar teorema fundamentala a modulelor Hopf aplicata pentru Hcare este H-Hopf modul.

Consecinta I.12. H

Tinand cont de caracterizarea lui H avem:

Consecinta I.13. Fie H o algebra Hopf. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1). H are integrale la stanga nenule;

2). H contine un ideal stang finit dimensional;

3). H contine un coideal stang propriu de codimensiune finita.

Consecinta I.14. Fie H o algebra Hopf cu antipodul S si avand integrale nenule. Atunci S este injectiv. Daca in plus H este finit dimensionala, atunci are dimensiunea 1 si S este bijectiv.

Demonsrtatie: Daca ar exista un h0astfel incat S(h)=0 atunci ar exista t,t0 cu f(th)=0, ceea ce ar contrazice injectivitatea lui f din teorema I.11.

Daca H este finit dimensionala ,atunci H=Hsi atunci f:HH f(th)=t h

este izomorfism de module Hopf ,deci si izomorfism de spatii vectoriale Dar , iar

S fiind un endomorfism injectiv al unui spatiu vectorial finit dimensional este bijectiv.

Teorema I.15. (MASCHKE) Fie H o algebra Hopf finit dimensionala. Atunci H este semisimpla exista o integrala la stanga astfel incat .

Demonstratie:

"" Sa presupunem mai intai ca H este semisimpla.

* este ideal de codimensiune 1 in H. Sa il privim ca pe un submodul stang si, H fiind semisimpla este sumand direct in H, deci exista un ideal stang I al lui H astfel incat Fie reprezentarea lui 1 in aceasta suma. Cum .

Codim *=1




Fie acum reprezentarea lui in suma este

Dar iar Cum reprezentarea unui element este unica 0 si b este o integrala la stanga in H. Cum

"" Sa presupunem acum ca exista o integrala la stanga t in H astfel incat Inlocuind-o, eventual cu , putem presupune ca .

Vom demonsta ca pentru orice H-modul stang M si orice H-submodul N al lui M, N este sumand direct in M si de aici va rezulta ca N este semisimpla.

Fie un morfism linear astfel incat (de exemplu proiectia pe N in scrierea lui M ca suma dintre N si un alt subspatiu).

Fie Fie

(am folosit ca ).

Sa aratam acum ca P este un morfism de H-module stangi.

Fie Atunci

Deci exista un morfism de H-module stangi astfel incat N este sumand direct al lui M ca H-module stangi () H este semisimpla.

Consecinta I.16. Fie H o algebra Hopf finit dimensionala si semisimpla si B o subalgebra Hopf. Atunci si B este semisimpla.

Demonstratie: Conform teoremei Nichols-Zoeller H e libera peste B.

Fie o integrala la stanga in H astfel incat Daca este o baza a lui H peste B exista astfel incat .

Pentru orice avem :

H fiind liber peste B sunt integrale la stanga pentru B.

Dar exista j astfel incat B este semisimpla.

Consecinta I.17. Daca H este semisimpla, atunci este unimodulara.

Demonstratie: Fie o integrala la stanga astfel incat si fie elementul grupal distins al lui . Fie .

Atunci Cum H este unimodulara.

Integrale si algebre Hopf cosemisimple

Definitia II.1. Fie R un inel. Un R-modul M se numeste complet reductibil daca orice submodul este sumand direct al lui M.

Propozitia II.2. Pentru o coalgebra C urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1). Orice -modul rational este complet reductibil.

2). C este suma de subcoalgebre simple.

Definitia II.3. O coalgebra ce satisface una din conditiile propozitiei anterioare se numeste cosemisimpla.

Propozitia II.4. Daca H este o algebra Hopf si exista astfel incat , atunci orice -modul rational este complet reductibil.

Demonstratie: Inlocuind eventual pe T cu putem presupune ca

Daca U este un H-comodul drept cu morfismul de structura atunci este un morfism de comodule,considerand ca structura de comodul a lui este data de Sa consideram diagrama

si

Daca

Vom demonstra ca si ca este un morfism de H-comodule.

Pentru a demonstra ca este un morfism de H-comodule, vom arata ca este un morfism de -module stangi.

Pentru avem:

=

= (caci T este integrala)=

=

= este morfism de comodule .

Sa presupunem ca V este un submodul al lui U astfel incat Fie proiectia lineara. Avem si fie este morfism de comodule, ca rezultat al compunerii morfismelor de comodule. Cum pentru orice si

si , rezulta ca . Deci putem considera ca este un morfism de comodule de la U la V.

Pentru si cum f este proiectie, Deci

este o proiectie de comodule de la U la V. Prin urmare Ker






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala
Functia parte intreaga, functia parte fractionara
Cilindrul cu generatoarele paralele cu una din axele de coordonate
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme
Definitii, exemple. Legatura cu H
Gometrie analitica (clasa a XI-a)
Siruri de numere reale
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator