Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme


Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme




Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme

Fie functiile si astfel incat v(t)>u(t) ; I,J sunt intervale,Fie functia , , si .




Exemplul 1:Sa se arate ca pentru orice functie inversabila,derivabila si cu derivata continua , unde a<b si c<d avem:

(Olimpiada de matematica etapa judeteana 1985)

Solutie: Consideram functia si:

Functia F este derivabila de unde rezulta:

unde c este o constanta.

Pentru t=a avem:

Deci c=0 de unde de unde obtinem concluzia:

Exemplul 2: Fie o functie continua.Notand m=inf(f(x)) si M=sup(f(x)) , sa se arate ca ; 0<a<b

Solutie : Fie functia astfel incat:

Deci F este crescatoare si cum

Fie acum functia si

Deci si G este crescstoare de unde rezulta:

 

Exemplul 3: Fie o functie de 2 ori derivabila cu Atunci:

Solutie: Fie si

Din Teorema lui Lagrange rezulta ca exista a.i

Dar ,deci este crescatoare si cum

Apoi se considera functia : si

Iar

Deci crescatoare si

Cum deci crescatoare

 

Exemplul 5: Fie functie de 2 ori derivabila cu

Sa se arate ca :

Solutie: Fie si




Avem

crescatoare

Si cum crescatoare si F(b) F(a)=0

Pentru demonstrarea celeilalte inegalitati consideram functia : cu

si se dem. Analog

 

Exemplul 6: Fie functiile ,h continua pe intervalul iar

Notand si sa se arate ca :

Solutie: Fie functia si

Deci este crescatoare si crescatoare,de unde rezulta ca .

Pentru demonstrarea inegalitatii din dreapta se considera functia cu

Deci este descrescatoare si descrescatoare,de unde :

Exemplul 7: Daca este o functie continua descrescatoare,sa se arate ca

Solutie: Consideram functia si

Teorema de medie : continua si .Deci

Deci cum f este descrescatoare si G este descrescatoare si

Pentru cea de-a doua inegalitate se considera functia: si

Exemplul 8:Fie un interval, o functie monoton crescatoare pe I.Sa se arate ca

Solutie:Pentru x=y avem egalitate.

Fie .Considram functia: si

Deci F descrescatoare si

Pentru consideram functia si

Deci G este descrescatoare si







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme