Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator


Valori proprii si vectori proprii ai unui operator




Valori proprii si vectori proprii ai unui operator

Notiunea de vector propriu

Fie un operator liniar al spatiului vectorial finit generat V peste corpul comutativ K. Daca este o baza a lui V, atunci operatorului i se asociaza matricea A astfel incat:

A.




Daca se schimba baza in V atunci se schimba si matricea A. Ea se transforma in matricea , unde T este matricea de trecere de la baza la noua baza.

Ne propunem sa gasim o noua baza, in care matricea B a operatorului f sa fie o matrice diagonala:

.

Din relatia de definitie a matricei B, si anume:

,

deducem ca vectorii ai noii baze trebuie sa indeplineasca conditiile:

,

care conduc la urmatoarea notiune:

Definitie

Se numeste vector propriu al operatorului f un vector v care indeplineste urmatoarele doua conditii:

1.      ;

2.      .

Prin urmare problema gasirii unei baze in care matricea operatorului sa aiba forma diagonala se reduce la gasirea vectorilor proprii.

Calculul vectorilor proprii

Fie coordonatele vectorului v in baza adica . Conditia inseamna ca nu toate coordonatele sunt nule.

Pe de alta parte, coloana coordonatelor vectorului , asa cum s-a stabilit, se obtine inmultind matricea A cu coloana coordonatelor lui v. Deci conditia este echivalenta cu:

.

Ultima relatie matriceala este forma matriceala a unui sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute: .

Prima conditie inseamna ca sistemul este nedeterminat, ceea ce, dupa teorema Kronecker- Capelli, revine la:

.

Acest determinant a fost pus in evidenta in capitolul 2 si s-a observat ca este un polinom de gradul n in λ, ce a fost numit polinomul caracteristic al matricei A, notat . Radacinile polinomului au fost numite valorile proprii ale matricei A.

Am ajuns deci la urmatorul rezultat: scalarul λ din definitia vectorului propriu nu poate fi un scalar oarecare: el trebuie sa fie o radacina a polinomului caracteristic al matricei A.

S-a conturat deci metoda de calculare a vectorilor proprii, si anume:

-        Se calculeaza valorile proprii ale matricei A a operatorului.

-        Pentru fiecare valoare proprie se rezolva sistemul liniar si omogen:




.

Fiecare solutie nebanala a sistemului reprezinta coordonatele unui vector propriu care indeplineste conditia: . Evident ca sistemul, fiind nedeterminat, are o infinitate de solutii. Anume, daca este un vector propriu atunci pentru orice scalar , vectorul este vector propriu corespunzator aceleiasi valori proprii .

Observatii

1. Desi valorile proprii ale unui operator se definesc si se calculeaza folosind matricea operatorului intr-o baza, ele nu depind de baza. Intr-adevar, daca este o alta baza si T este matricea de trecere de la baza la baza iar B matricea lui f in noua baza atunci, tinand seama ca determinantul produsului de matrice este produsul determinantilor matricelor, obtinem:

2. Acelasi lucru este valabil si pentru vectorii proprii: vectorii proprii , corespunzatori valorii proprii , au drept coordonate in baza solutiile sistemului liniar si omogen:

.

Inmultind aceasta ecuatie matriceala la stanga cu ea devine:

,

adica , care este coloana coordonatelor lui in noua baza , este solutie a sistemului care da coordonatele vectorului propriu corespunzator valorii proprii folosind noua baza, si matricea B a lui f in aceasta noua baza. Deci folosind o alta baza vom obtine aceiasi vectori proprii.

Subspatiul vectorilor proprii corespunzatori unei valori proprii

Fie λ o valoare proprie a unui operator liniar f al spatiului vectorial V. Observam ca multimea vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ nu constituie un subspatiu deoarece, din definitia vectorului propriu, aceasta multime nu contine vectorul nul, .

Sa notam multimea vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ, la care se adaoga si vectorul nul. Este usor de verificat ca constituie un subspatiu pe care-l vom numi subspatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ.

Vectorii acestui subspatiu sunt definiti de relatia.

Exemplu

Reamintim ca termenul liber al polinomului caracteristic al matricei A este . Inseamna ca operatorul f reprezentat de matricea A admite valoarea proprie daca si numai daca . Se observa ca numai in acest caz sistemul

are solutii nebanale.

Subspatiul , al vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii , constituit, asa cum am spus mai sus, din multimea solutiilor ecuatiei vectoriale , este tocmai nucleul operatorului f, care a fost notat Kerf.







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Valori proprii si vectori proprii ai unui operator