Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala

Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala

Fie f : R R o functie polinomiala de grad n atunci X= a este radacina multipla de ordinul

a ecuatiei f(x)=0 daca si numai daca f(a)=f '(a)= ...=f ^(K-1) (a)=0 si f ^K(a) 0

Deci :    X = a este :

radacina dubla daca f(a)=f '(a)=0 , f ''(a)0 ;

radacina tripla daca f(a)=f '(a)= f ''(a)= 0 , f '''(a)0 ;

radacina multipla de ordinul patru daca f(a)=f '(a)= f ''(a)=f '''(a) = 0 , f ^(IV) (a)0 .

Conditia suficienta pentru un punct X₀ sa fie un punct de inflexiune este :

• Fie f : E R si x₀ un punct din intervalul E .Daca f este de doua ori derivabila pe o vecinatate

"V" a lui x₀ si daca exista doua numere a si b asfel incat

1) ; 2) f ''(x₀)= 0 ; 3) (f ''(x₀) <0 pe intervalul(a , x₀) si f ''(x₀) >0 pe intervalul( x₀ , b) )

sau (f ''(x₀) >0 pe intervalul(a , x₀) si f ''(x₀) <0 pe intervalul ( x₀ , b) )

atunci x₀ este punct de inflexiune pentru f.

Punctul M (X₀ ; f(X₀))se numeste punct de inflexiune al graficului .

Puncte de extrem ale unei functii

DEF : Un punct a E se numeste punct de maxim local al functiei f daca exista o vecinatate V a lui a , in care functia are valori mai mici decat in a , adica f(x)< f(a) , V E .

DEF : Un punct b E se numeste punct de minim local al functiei f daca exista o vecinatate V a lui b , in care functia are valori mai mari decat in b , adica f(b) f(x) , V E .

Teorema lui Fermat

Fie f : E R si x₀ un punct din intervalul E , x₀ este un punct de extrem din iteriorul intervalului , atunci

functia f este derivabila in x₀ si f ' (x) = 0 .

Teorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale unei functii derivabile f sunt printer punctele critice , adica punctele de extrem local ale lui f sunt printer solutiile ecuatiei f ' (x) = 0 .

Teorema lui Rolle

Fie f : [ a ; b ] R , a si b R , a < b Daca :

• f este continua pe intervalul inchis [ a ; b ]
• f este derivabila pe intervalul deschis ( a ; b )
• f are valori egale la capatul intervalului , f(a) = f(b) ,

atunci exista cel putin un punct c din interiorul intervalului deschis ( a , b ) ; c ( a , b ) in care

derivata se anuleaza f ' ( c ) = 0 .

Corolar . Fie f : [ a ; b ] R ,continua pe [ a ; b ] , derivabila pe ( a ; b ) si f(a)=f (b) = 0

( a si b sunt radacini pentru f ) . Atunci exista cel putin un punct c ( a ; b ) asfel incat f ' ( c ) = 0 .

Interpretare geomerica

Y

f(a) = f(b)

X

0 a c b

Lema Fie f : E R o functie derivabila pe intervalul E . Intre doua radacini (zerouri )consecutive ale derivatei f ' se afla cel mult o radacina a ecuatiei f ( x ) = 0 , (zerourile derivatei separa zerourile functiei

Etapele formarii sirului lui Rolle :

• Se precizeaza intervalul E de studiu al ecuatiei f ( x ) = 0 , functia f : E R presupusa derivabila
• Se rezolva ecuatia f '( x ) = 0 aranjand in ordine crescatoare radacinile reale din E

(x_m '< .<x'₁ <x '₂< .<x '_M )

• Calculam valorile functiei f in aceste puncte , la care adaugam limitele lui f , notate cu si la capetele

din stanga si respectiv dreapta ale intervalului E , f(x'_m) , . , f(x'₁) , f(x'₂) , ..., f(x'_M) , .

• Sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori ( poate figura si valoarea zero )
• Concluzii privind numarul radacinilor reale ale ecuatiei si intervalele in care acestea sunt plasate .