Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala


Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala




Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala

Fie f : R R o functie polinomiala de grad n atunci X= a este radacina multipla de ordinul

a ecuatiei f(x)=0 daca si numai daca f(a)=f '(a)= ...=f (K-1) (a)=0  si f K(a) 0

Deci :  X = a este :

       radacina dubla daca f(a)=f '(a)=0  , f ''(a)0 ;




       radacina tripla daca f(a)=f '(a)= f ''(a)= 0 , f '''(a)0 ;

       radacina multipla de ordinul patru daca f(a)=f '(a)= f ''(a)=f '''(a) = 0  , f (IV) (a)0 .

Conditia suficienta pentru un punct X0 sa fie un punct de inflexiune  este :

  • Fie f : E R si x0 un punct din intervalul E .Daca f este de doua ori derivabila pe o vecinatate

  "V" a lui x0  si daca exista doua numere a si b asfel incat

1)   ; 2) f ''(x0)= 0 ;  3) (f ''(x0) <0   pe intervalul(a , x0) si f ''(x0) >0 pe intervalul( x0 , b) )

  sau (f ''(x0) >0 pe intervalul(a , x0) si f ''(x0) <0 pe intervalul ( x0 , b) )

  atunci x0 este punct de inflexiune pentru f.

Punctul M (X0 ; f(X0))se numeste punct de inflexiune al graficului .

Puncte de extrem ale unei functii

DEF : Un punct a E se numeste punct de maxim local al functiei f daca exista o vecinatate V a lui a , in care functia are valori mai mici decat in a , adica f(x)< f(a) , V E .

DEF : Un punct b E se numeste punct de minim local al functiei f daca exista o vecinatate V a lui b , in care functia are valori mai mari decat in b , adica f(b) f(x)  , V E .

Teorema  lui Fermat

Fie f : E R si x0 un punct din intervalul E , x0 este un punct de extrem din iteriorul intervalului , atunci

functia f este derivabila in x0 si f ' (x) = 0 .

Teorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale unei functii derivabile  f sunt printer punctele critice , adica  punctele de extrem local ale lui f sunt printer solutiile ecuatiei f ' (x) = 0 .

Teorema lui Rolle

Fie f : [ a ; b ] R ,  a si b R , a < b  Daca :

  • f este continua pe intervalul inchis [ a ; b ]
  • f este derivabila  pe intervalul deschis  ( a ; b )
  • f are valori egale la capatul intervalului , f(a) = f(b)  ,

atunci exista cel putin un punct c din interiorul intervalului deschis ( a , b ) ;  c ( a , b ) in care




derivata se anuleaza f ' ( c ) = 0 .

Corolar . Fie f : [ a ; b ]  R ,continua pe  [ a ; b ] , derivabila pe ( a ; b ) si  f(a)=f (b) = 0

(  a si b sunt radacini pentru f ) . Atunci exista cel putin un punct c ( a ; b )  asfel incat f ' ( c ) = 0 .

Interpretare geomerica

  Y


f(a) = f(b) 

  X

  0  a c b

Lema Fie f : E R o functie derivabila pe intervalul E . Intre doua radacini (zerouri )consecutive ale derivatei f ' se afla cel mult o radacina a ecuatiei f ( x ) = 0  , (zerourile derivatei separa zerourile functiei )

Etapele formarii sirului lui Rolle :

  • Se precizeaza intervalul E de studiu al ecuatiei f ( x ) = 0 , functia f : E R  presupusa derivabila
  • Se rezolva ecuatia f  '( x ) = 0  aranjand in ordine crescatoare radacinile reale din E

  (xm '< .<x'1 <x '2< .<x 'M )

  • Calculam valorile functiei f in aceste puncte , la care adaugam limitele lui f , notate cu si la capetele

  din stanga  si respectiv dreapta ale intervalului E , f(x'm) , . , f(x'1) , f(x'2) , ..., f(x'M) , .

  • Sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori ( poate figura si valoarea zero )
  • Concluzii privind numarul radacinilor reale ale ecuatiei si intervalele in care acestea sunt plasate .



loading...




Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala
Cilindrul cu generatoarele paralele cu una din axele de coordonate
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Functia parte intreaga, functia parte fractionara












loading...