Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara


Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara




Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara

Regula 1: Locul radacinilor cuprinde n ramuri distincte, n reprezentand gradul ecuatiei caracteristice aferente sistemului, deci numarul radacinilor acesteia.

Justificare: Cum ecuatia caracteristica (4.122) este de gradul n, aceasta are n radacini, deci locul radacinilor are n ramuri.




Regula 2: Locul radacinilor este simetric in raport cu axa reala.

Justificare: Cum ecuatia caracteristica are toti coeficientii reali, radacinile acesteia sunt pur reale sau coplex-conjugate, deci simetrice fata de axa reala. Rezulta ca si locul este simetric fata de axa reala.

Regula 3: Pentru k=0, ramurile locului radacinilor pornesc din polii sistemului in circuit deschis.

Justificare: Ecuatia (4.123), pentru k=0, devine:

                               (4.127)

Rezulta ca, pentru k=0, radacinile ecuatiei caracteristice sunt polii lui H(s).

Regula 4: Pentru , m ramuri ale locului radacinilor tind catre zerourile sistemului in circuit deschis.

Justificare: Din ecuatia (4.123), prin impartire cu k, se obtine:

  .           (4.128)

Rezulta ca, pentru , se obtine ecuatia:

                                          (4.129)

deci radacinile ecuatiei caracteristice se confunda cu zerourile lui H(s).

Regula 5: Pentru , n-m ramuri ale locului radacinilor tind catre linii drepte (asimptote), care fac cu axa reala a planului s unghiurile:

                 (4.130)

Asimptotele se intersecteaza pe axa reala intr-un punct unic denumit “centru de greutate” al configuratiei zerourilor si polilor functiei de transfer H(s). Abscisa centrului de greutate se determina cu relatia:

                  (4.131)

Justificare: Din ecuatia (4.122), se obtine:

                      (4.132)

din care, dupa efectuarea impartirii, rezulta ecuatia

                   (4.133)

care are ca radacini cele n-m radacini, ale ecuatiei caracteristice, ce tind catre infinit.

Rezulta:

      (4.134)

de unde se obtine:

                                                  (4.135)

Pentru ca cele n-m radacini tind la infinit, in ecuatia (4.133) se neglijeaza, in raport cu termenul ce-l contine pe sn-m, ceilalti termeni si se obtine:

                                             (4.136)

sau

                       (4.137)

de unde rezulta cele n-m radacini care tind la infinit:

                   (4.138)

unde .

Din relatia (4.138), rezulta ca radacinile sunt situate pe un cerc a carui raza creste cu k. Razele pe care se deplaseaza radacinile ecuatiei caracteristice reprezinta directiile asimptotice care, evident, pornesc din centrul cercului si fac cu axa reala unghiurile.

.                   (4.139)

Regula 6: Locul radacinilor contine toate portiunile axei reale care se afla la stanga unui numar impar de poli si zerouri.

Justificare: Consideram in planul s o repartitie pentru polii si zerourile lui H(s)  ca in fig. 4.8. Fie punctul M(s) situat pe axa reala. Se observa ca:

·       pentru o pereche de poli (sau zerouri) complecsi conjugati situati in dreapta punctului M, suma argumentelor fazorilor cu varful in M este de 2p. De exemplu, pentru polii p2 si p3, suma argumentelor este:;

·       pentru un pol (sau zerou) situat pe axa reala in dreapta punctului M argumentul este p ( de exemplu, pentru zeroul z1);

·       pentru un pol (sau zerou) situat pe axa reala in stanga punctului M argumentul este zero ( de exemplu, pentru polul p1).

Fig. 4.8.

In relatia (4.126) argumentele fazorilor corespunzatori zerourilor intra cu semnul plus, iar argumentele fazorilor corespunzatori polilor intra cu semnul minus.

Oricum s-ar insuma algebric (cu semnul plus sau minus) un numar impar de valori p, se obtine un rezultat de forma (2l+1) p, unde lZ.

Rezulta ca, daca punctul M este situat pe axa reala in stanga unui numar impar de poli si zerouri, el apartine locului pentru ca in acest caz conditia (4.126) este verificata.

Regula 7: Valoarea lui k, pentru care locul radacinilor intersecteaza axa imaginara a planului s, se determina din conditia:

                                                         (4.140)

unde este determinantul de ordinul n al lui Hurwitz.

Justificare: Cand radacinile ecuatiei caracteristice sunt situate pe axa imaginara, sistemul este la limita de stabilitate, deci .




Observatie: In acest caz, radacinile pot fi determinate, daca in ecuatia caracteristica se face .

Regula 8: Daca o portiune a axei reale, cuprinsa intre doi poli adiacenti ai sistemului deschis, apartine locului radacinilor, atunci ea va contine un punct de ramificare, de indepartare de axa reala (fig. 4.9.a).

Justificare: Din cei doi poli adiacenti, p1 si p2, pornesc doua ramuri distincte ale locului. Acestea se intalnesc in punctul de ramificare, de abscisa sr, dupa care se departeaza de axa reala, dupa care, se desprind doua ramuri ce corespund a doua radacini complex-conjugate ale ecuatiei caracteristice.


a)                                                                     b)

Fig. 4.9.

Regula 9: Daca o portiune a axei reale, cuprinsa intre doua zerouri adiacente ale sistemului deschis, apartine locului radacinilor, atunci ea va contine un punct de ramificare, de apropiere de axa reala (fig. 4.9.b).

Justificare: In cele doua zerouri adiacente, z1 si z2, sosesc pe axa reala, din punctul de ramificare sr, doua ramuri distincte ale locului. Acestea provin din doua radacini complex-conjugate care, in punctul de ramificare, au devenit egale.

Regula 10: Daca o portiune a axei reale, cuprinsa intre un pol si un zero, apartine locului radacinilor, atunci ea constituie o ramura distincta a locului.

Justificare: Pentru k variind de la zero la infinit, punctul curent al locului se depleaseaza de la polul p1 la zeroul z1 (fig. 4.10).


Fig. 4.10.

Regula 11: Coordonatele punctelor de ramificare ale locului sunt date de radacinile ecuatiei:

                                             (4.141)

unde zi, pi sunt zerourile, respectiv polii, lui H(s), sr reprezinta coordonatele punctelor de ramificare de pe axa reala, iar r este numarul punctelor de ramificare.

Justificare: Intr-un punct de ramificare, ecuatia caracteristica (4.121) are o radacina dubla. Rezulta:

                                               (4.142)

Eliminand k intre relatiile (4.142) se obtine:

                                                         (4.143)

            *Avand in vedere ca:

                                                   (4.144)

si

                                                    (4.145)

rezulta:

.

Regula 12: In punctul de ramificare, doua ramuri ale locului parasesc, sau ating, normal (sub un unghi de 900) axa reala.

Regula 13: Unghiul de plecare, , dintr-un pol complex pk al unei ramuri a locului, sau unghiul de sosire, , intr-un zerou complex zk al unei ramuri a locului, poate fi determinat scazand (2q+1)p din suma unghiurilor fazorilor  si , construiti intre polul, respectiv zeroul, complex considerat si toti ceilalti poli pi si zerouri zi, unde ik, adica:

,                         (4.146)

respectiv

,                         (4.147)

unde  si se alege astfel incat sa rezulte: .

            Justificare: Relatiile (4.146) si (4.147) rezulta din conditia argumentelor (4.126).







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


TRIUNGHIURI CONGRUENTE
Monotonia si injectivitatea unei functii
Functii periodice
Siruri recurente
Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala
FUNCTII DERIVABILE
Lucrare scrisa la matematica clasa a V-a – semestrul I numarul 1
ECUATII. SISTEME DE ECUATII
Lucrare scrisa la matematica - Clasa a VII-a
Metoda aproximatiilor succesive