Monotonia si injectivitatea unei functii

Monotonia si injectivitatea unei functii

Teorema:    Fie f : A  R o functie numerica strict monotona pe A. atunci functia f este injectiva.

Demonstratie: Consideram o functie f : A  R strict crescatoare (in mod asemanator se procedeaza si pentru o functie strict descrescatoare). Fie x_{1 ,} x₂A cu x₁ ≠ x₂ .

Din x₁ ≠ x₂ rezulta una din situatiile: x₁ < x₂ sau x₁ > x₂. Cum functia este strict crescatoare avem:

Daca    x₁ < x₂ atunci f(x₁ ) < f(x₂) deci f(x₁ ) ≠ f(x₂)

Daca    x₁ > x₂ atunci f(x₁ ) > f(x₂) deci f(x₁ ) ≠ f(x₂)

Adica pentru orice caz avem f(x₁ ) ≠ f(x₂) f este injectiva.

Observatie: Reciproca teoremei de mai sus nu este adevarata dupa cum se observa in exemplul urmator.

Exemplu: f: R* → R descrisa de formula f(x) = este o functie injectiva dar nu este strict monotona, dupa cum se observa din graficul functiei.    

Observatie: f: R* → R descrisa de formula f(x) = este strict descrescatoare pe () si strict crescatoare pe (