Patrate perfecte

Patrate perfecte

Pentru inceput vom aminti cateva rezultate cunoscute si des folosite in acest cadru :

Ultima cifra a unui patrat perfect este doar una dintre cifrele

0, 1, 4, 5, 6, 9.

Orice patrat perfect are una dintre formele 4p sau

(Intr-adevar,daca ,atunci ,iar daca ,avem

Orice patrat perfect este de forma 3p sau

(Ca si mai inainte,consideram si ridicam la patrat)

Daca un patrat perfect contine un factor prim in descompunere,atunci

acest factor este de fapt la o putere para in descompunerea numarului initial.

Restul impartirii oricarui patrat perfect la 4 este 0 sau 1.

Va prezentam acum cateva exercitii care au constituit subiecte de concurs,in speranta ca va veti familiariza si cu acest teren:

Aratati ca numarul nu este patrat perfect.

(Sorin Budisan, OL Bistrita-Nasaud, 2006)

Solutie: Ultima cifra a numarului dat este . Deoarece ,deducem imediat ca ,deci B nu poate fi patrat perfect (conform 1) ) . 

Consideram numerele naturale de forma

a) Aratati ca pentru orice ,numarul nu este patrat perfect.

b) Determinati pentru care este patrat perfect.

(OJ Botosani 2006, clasa a V-a)

Solutie: a) Daca avem ca exista astfel incat si astfel Deoarece numarul este impar,deducem ca contine factorul prim 2 la puterea impara 7 , asadar nu este patrat perfect ;

b) Cautam acum si calcule imediate conduc la unica solutie

Scrieti numarul ca suma de trei patrate perfecte nenule.

(Concurs RMCS 2006)

Solutie:



Determinati numerele naturale impare n cu proprietatea ca numarul este patrat perfect.

(Ioana si Gheorghe Craciun, Concurs 2006)

Solutie: Pentru obtinem ,adica un patrat perfect. Sa

observam acum ca daca n este numar par ultimele doua cifre ale lui sunt 25, iar daca n este impar ultimele doua cifre ale aceluiasi numar sunt 75. Ajungem astfel la: , n imparsi , de unde , care nu este patrat perfect (conform 2)) 

Sa se determine toate numerele naturale n de doua cifre pentru care numarul este patrat perfect.

(OL Vaslui, 2006, clasa a VII-a)

Solutie: Evident,trebuie sa fie deasemenea patrat perfect; cum n

are doua cifre, deducem Imediat se ajunge

acum la ; cum trebuie sa fie patrat perfect, ajungem doar la

Sa se arate ca pentru orice numar natural ,numarul ,unde 1 apare de n ori,iar 4 apare de 2n ori , nu este patrat perfect.

(Cecilia Deaconescu , OJ 2006, clasa a VII-a )

Solutie: Notam cu a numarul de n cifre avem Deoarece da prin impartire la 4 restul 3 , avem ca a nu este patrat perfect(conform 2)). Asadar numarul dat A nu este patrat perfect. 

Exista astfel incat numarul sa fie patrat perfect ?

(Damian Marinescu, GM 1-2007)

Solutie: Daca n este numar par, atunci restul impartirii lui la 4 este 2 , iar daca n este impar,restul impartirii la 4 este 3. Folosind rezultatul 5) din introducere, deducem ca nu exista numere care satisfac proprietatea din enunt. 

Determinati numarul in baza 10 , stiind ca atat el cat si sunt patrate perfecte.

Solutie: Evident,Deoarece a si b sunt ultimele cifre ale unor patrate perfecte, deducem ca . Dintre patratele perfecte de trei cifre care incep cu una dintre aceste cifre si care au cifra unitatilor egala cu cea a zecilor putem alege doar pe 441. Cum si 144 este patrat perfect, deducem ca numarul cerut este chiar 441. 

Aratati ca pentru orice exista x si y patrate perfecte astfel incat

(GM 2-1986)

Solutie: Pentru avem

Pentru scriem si astfel avem

Pentru , un calcul asemanator conduce la

Aratati ca , oricare ar fi , numerele si nu pot fi simultan patrate perfecte.

Solutie: Prin reducere la absurd, presupunem ca exista pentru care A si B sunt patrate perfecte. Datorita simetriei expresiilor care definesc aceste numere, putem considera, fara a restrange generalitatea problemei, ca . In aceste ipoteze, vom avea

,de unde

Avem acum ca B este patrat perfect daca si numai daca , de unde ,absurd.

Aratati ca resturile posibile ale impartirii unui patrat perfect la 9 sunt 0 , 1 , 4 si 7 .

Solutie: Orice numar natural n se poate scrie sub forma . Avem in continuare , cu , asadar

Aratati ca   

(OL Bucuresti, 2004)

Solutie: Pentru orice ,produsul este numar par,deci este multiplu de 10 si astfel numarul de sub radical are, pentru orice , ultima cifra 7, deci nu poate fi patrat perfect. 

Aratati ca suma dintre numarul 1 si produsul primelor n numere prime nu este patrat perfect, oricare ar fi

Solutie: Consideram primele n numere prime :

si presupunem, prin reducere la absurd, ca exista astfel incat , de unde . Cum , avem ca produsul din stanga este numar par,asadar produsul din dreapta trebuie sa fie tot numar par; daca insa unul dintre cei doi factori e multiplu de 2, atunci si celalalt are aceeasi proprietate, deci produsul din dreapta este multiplu de 4. Produsul din stanga nu poate fi insa multiplu de 4, deci presupunerea facuta e falsa.

Daca a este un numar natural cu 2004 cifre pentru care 2003 cifre apartin multimii ,iar o cifra apartine multimii , aratati ca (Romeo Zamfir, ShortList ONM 2004)

Solutie: Conform ipotezei avem ca suma cifrelor numarului a este un numar de forma , asadar numarul a este de fapt de aceasta forma.

(Orice numar natural da la impartirea cu 3 acelasi rest ca si suma cifrelor scrierii sale in baza 10). Acum,folosim rezultatul 3) din introducere, adica a nu poate fi patrat perfect. 

Aratati ca daca P este un patrat perfect avand noua cifre, dintre care nici una nu este 3, atunci P are cel putin doua cifre identice.

(Ioana si Gheorghe Craciun)

Solutie: Presupunand,prin absurd,ca toate cifrele numarului sunt distincte, suma acestora este 42, deci numarul P se divide cu 3, dar nu se divide cu 9, asadar P nu este patrat perfect, contradictie. 

Gasiti numerele naturale n , ,pentru care este patratul unui numar intreg.    (OBMJ, Macedonia, 2000)

Solutie: Considerand avem ,asadar exista astfel incat si

.Deoarece , deducem

. Acum,daca ,ajungem la ,adica si astfel . (In rest,pentru ,se arata prin inductie matematica: ). Asadar deocamdata avem In cazul in care , deducem , de unde si astfel

Pe de alta parte insa,

contradictie cu rezultatul gasit anterior. Asadar ,

Determinati numarul patratelor perfecte de 5 cifre care au ultimele doua cifre egale.    (Baraj OBMJ, 1999)

Solutie: Daca este un

numar cu proprietatea din enunt, folosind rezultatul 2) din introducere

si faptul ca , deducem

I) Daca ,atunci fiind patrat perfect, ajungem la , adica avem 22 de numere convenabile;

II) Daca ,de unde .Avem acum urmatoarele subcazuri:

(i)

(ii) , de unde ,adica obtinem inca 5 numere.

(iii) daca

(iv) daca

(v) daca ,de unde , adica inca patru numere.

Avem astfel un total de    31 de numere care satisfac cerinta din enunt.

Va propunem acum sa va incercati puterile cu urmatoarele:

(1) Daca n este o suma de doua patrate perfecte, aratati ca si 2n este

o suma de doua patrate perfecte.

(2) Aratati ca daca si sunt patrate perfecte, atunci

n este multiplu de 40.

(3) Aratati ca daca n se poate scrie ca suma a trei patrate a unor

numere naturale,atunci si are aceeasi proprietate.

Bibliografie:

Traian Cohal - Va place matematica?, Editura Moldova, 1991

Gh.Eckstein si colectiv - Olimpiadele si concursurile de

matematica, Ed.Birchi, 2004, 2005, 2006

Gazeta Matematica, colectia 1999-2007

Revista de Matematica a elevilor din Timisoara, colectia 1999-2007