Compunerea functiilor

Compunerea functiilor

O alta operatie care se poate efectua asupra a doua functii este cea de compunere.

Fie f: A B, g : B C, doua functi cu urmatoarea particularitate: codomeniul lui f este egal cu domeniul lui g.

Cu ajutorul acestor functii se poate construi o alta functie h : A C. Functia h astfel definita se noteaza gf (citim "g compus cu f si reprezinta compunerea functiei g cu f (in aceasta ordine). Functia gof are domeniul lui f (prima functie care actioneaza in aceasta compunere) si codomeniul lui g (ultima care actioneaza in compunere).

Definitie. Fie A, B, C multimi nevide si functiile f : A  B, g : B  C.

Se numeste compusa functiei g cu functia f, considerata in aceasta ordine, functia notata gof , definita astfel: gof : A  C , (gof)(x) = g(f(x)), x  A.

Observatii.

a) Functia compusa gof a doua functii f, g nu poate fi definita decat daca codomeniul lui f coincide cu domeniul de definitie a lui g.

b) Daca f : A  B, g : B  A, atunci are sens fog si gof. Insa in general insa gof fog.

Teorema: Fie f,g,h F(R). Atunci au loc relatiile:

Asociativitatea compunerii

f g , h F avem fo(goh) = (fog)oh

(ne)Comutativitatea

 f, g  F a.i. fog  gof

Element neutru

o functie 1_A F a.i. F avem fo1_A = 1_Aof f; 1_A : A A; 1_A(x) = x (functie identica pe A)

Elemente simetrizabile

Functia inversa: f : A  B, g : B  A; g se numeste inversa (notatie: g = f^-1) lui f daca: fog = 1_B si gof = 1_A

Proprietati:

a)     g = f^-1  (gof)(x) = x (fog)(x) = x;

b)    f^-1(f(x)) = x x  A si f(f^-1(x)) = x x  B;

c)     f inversabila  f bijectie

Observatie: Nu toate functiile admit inverse!