Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Forma canonica Jordan


Forma canonica Jordan




Forma canonica Jordan

Celule Jordan

            Se numeste celula Jordan de ordinul m asociata lui λ urmatoarea matrice patratica de ordinul m:

.

            Ea se poate scrie sub forma:  in care N este matricea patratica de ordinul m avand elementele de pe prima paralela la diagonala principala egale cu 1 si toate celelalte elemente egale cu 0.



            Ne propunem sa calculam diverse functii analitice avand ca argument o astfel de matrice, adica sumele unor serii convergente de puteri ale acestei matrice.

            Incepem cu puterile matricei . Deoarece termenii  si N comuta intre ei, se poate aplica formula binomului lui Newton:

,

astfel incat problema se reduce la calcularea puterilor matricei N.

Fie A o matrice patratica oarecare de ordinul m, pe care o scriem celulata pe coloane si cautam efectul inmultirii la dreapta a acestei matrice cu matricea N:

            Asadar coloanele matricei A sunt deplasate cu un pas catre dreapta, iar prima coloana devine coloana nula.

            Luand in locul matricei A matricea N, vedem ca efectul inmultirii lui N cu N este deplasarea paralelei de 1, cu un pas catre dreapta. Acelasi lucru se intampla daca in locul matricei A  luam o putere a lui N, astfel ca va avea toate elementele egale cu zero in afara de cele de pe paralela r la prima diagonala care este ocupata cu 1. Rezulta ca pentru ,  deci:

.

            Tinand seama de descrierea pe care am dat-o puterilor matricei N rezulta ca  va avea pe diagonala principala , pe prima paralela la diagonala , pe a doua paralela  si asa mai departe.

            Pe de alta parte, notand , avem: . Asadar,

    Egalitatea de mai sus este valabila si in cazul cand in locul functiei  se ia un polinom, precum si atunci cand  este o serie, cu conditia sa avem asigurata convergenta seriilor reprezentate de elementele matricei.

            De exemplu, pentru  se poate scrie:

Operatori nilpotenti

            Un operator f al spatiului V se numeste operator nilpotent daca exista un numar natural r, astfel incat . De exemplu, daca matricea operatorului intr-o baza a spatiului V are forma:

,

atunci, deoarece , rezulta .

Propozitie

            Daca f este un operator nilpotent al spatiului V , anume , atunci exista o baza a spatiului in care matricea J a operatorului este constituita din blocuri Jordan asociate lui  dispuse pe diagonala, avand dimensiunile , astfel incat .

Demonstratie

Mai intai sa remarcam ca daca  atunci celula Jordan.

devine . Pentru  celula  va fi respectiv:

            Ne propunem sa gasim o baza a spatiului V in care matricea operatorului nilpotent f sa aiba forma:

,

in care  este o matrice de forma descrisa mai sus, avand ordinul .

            Dupa cum se stie coloanele matricei J a operatorului in baza cautata reprezinta coordonatele imaginilor prin f ale vectorilor acestei baze. Notand cu  subspatiul generat de vectorii corespunzatori coloanelor ce definesc blocul Ni, rezulta ca acest subspatiu este invariant fata de f, iar  este suma directa. In plus, notand cu  vectorii bazei cautate corespunzatori coloanelor blocului  dispusi in ordine inversa, acestia indeplinesc conditiile: . Asadar baza cautata trebuie sa fie formata din grupuri de vectori de forma: , in care

            Reamintim ca daca  A este matricea operatorului f intr-o baza oarecare si B este coloana coordonatelor unui vector  atunci multimea  se determina rezolvand sistemul liniar : orice coloana X care verifica sistemul este constituita din coordonatele unui vector . In particular,  se obtine rezolvand sistemul omogen . In plus,

             Din inegalitatile:  rezulta atunci:





. Pe de alta parte este evident ca :

.

            Pe baza celor de mai sus putem elabora programul de construire a bazei cautate. In primul rand se calculeaza Kerf rezolvand sistemul . Solutia generala  va avea atatia parametri cat este dimensiunea lui Kerf, adica gradul de nedeterminare al sistemului.

            Pentru calculul vectorilor lui  care nu sunt in Kerf avem de rezolvat sistemul , un sistem liniar si neomogen de asta data. Pentru uniformitatea constructiei care urmeaza notam .

Conditiile de compatibilitate ale sistemului, exprimate in relatii liniare ale parametrilor coloanei , vor determina un subspatiu, al lui , pe care-l notam . In acest subspatiu alegem o baza pe care o completam pana la o baza a lui  cu vectorii (proprii) . Acestia sunt vectori proprii liniar independenti, care nu au preimagine (imagine inversa). Nu exista nici un vector x astfel incat  sa fie o combinatie liniara a acestora. Fiecare din vectorii  va defini o celula Jordan de dimensiune unu.

            Pentru fiecare vector u al bazei lui  alegem o solutie a ecuatiei , rezolvand sistemul corespunzator  in care  este coloana coordonatelor lui u. Acesti vectori genereaza un subspatiu  care are aceeasi dimensiune ca si . Este usor de verificat ca aceste solutii (vectori)  impreuna cu vectorii bazei lui Kerf constituie un sistem liniar independent, si anume o baza a subspatiului . Notam  coloana coordonatelor unui vector oarecare din subspatiul . Coloana  va avea atatia parametri cat este dimensiunea lui , care este egala cu dimensiunea lui . 

            Pasul urmator, de determinare a subspatiului  este in principiu asemanator celui care a dus la determinarea lui .

            Conditiile de compatibilitate ale sistemului  care sunt relatii liniare intre parametrii care definesc coloana , vor determina un subspatiu,  al lui , in care alegem o baza pe care o completam pana la o baza a lui  cu vectorii: . Nici o combinatie liniara a acestor vectori nu are preimagine. Fiecare din acesti vectori  determina subspatiul bidimensional generat de vectorii liniar independenti  si , care vor defini o celula Jordan bidimensionala. Vor fi q celule bidimensionale, tot asa cum vectorii  definesc cele p celule unidimensionale.

            Fiecare vector al bazei  lui  defineste matricea coloana  corespunzatoare.

Alegem cate o solutie a sistemului . Aceste solutii genereaza subspatiul  care are aceeasi dimensiune ca si . Notam  coloana coordonatelor unui vector oarecare din . Coloana  va avea atatia parametri cat este dimensiunea lui . Se trece apoi la etapa urmatoare pentru determinarea celulelor Jordan de dimensiune trei etc.

            Dupa fiecare etapa numarul parametrilor coloanei , care este egal cu dimensiunea subspatiului  scade cu atatea unitati, cu cat se diminueaza dimensiunea lui  fata de , adica cu numarul celulelor de dimensiune i. Se porneste de la . Q.E.D.

Teorema de descompunere a lui Jordan

            Pentru orice operator linear f al spatiului V peste un corp algebric inchis K exista o baza in care matricea operatorului are forma:

,

in care  sunt valorile proprii, nu neaparat distincte ale operatorului f, iar  este celula Jordan corespunzatoare valorii proprii .

Demonstratie

Fie A matricea operatorului f intr-o baza a spatiului V si

,

polinomul caracteristic al operatorului f. Valorile proprii  sunt distincte, avand respectiv multiplicitatile , astfel incat .

Descompunerea in factori liniari a polinomului caracteristic se bazeaza pe faptul ca, prin ipoteza, corpul K este algebric inchis.

            Notam ; . Deoarece aceste polinoame sunt prime intre ele exista polinoamele , astfel incat:

.

            In polinomul din membrul stang si in cel din membrul drept se poate inlocui variabila λ cu o matrice patratica, retinand faptul ca termenul liber se inmulteste cu matricea unitate. Inlocuim pe λ cu matricea A:




.

            Inmultind la dreapta cu o matrice coloana X oarecare de ordinul n, obtinem:

.

            Interpretam coloana X ca fiind alcatuita din coordonatele unui vector oarecare x in baza considerata, iar coloana  coloana coordonatelor unui vector .

            Coloana coordonatelor vectorului  este:

,

unde am tinut seama de faptul ca matricele comuta si ca:

.

Asadar , adica . Notam  

Am obtinut faptul ca orice vector x al spatiului V se scrie sub forma:

, adica . Sa aratam ca aceasta suma este directa.

            Fie  cu . Vom arata ca toti termenii sunt nuli. Anume, vom arata ca . Notam .

            Deoarece polinoamele :

sunt prime intre ele, rezulta ca exista polinoamele  astfel incat:

.

             Inlocuind pe λ cu A in aceasta egalitate si inmultind ambii membri cu coloana X a coordonatelor vectorului x, obtinem:

Dar deoarece  .

Observam ca matricele produsului:  comuta.

Pentru fiecare  notand  coloana coordonatelor vectorului   este indeplinita conditia: . Rezulta:

Asadar,  adica .

            Aratam acum ca subspatiile  sunt invariante fata de f. Intr-adevar, daca  xIVi atunci notand X matricea coloana a coordonatelor vectorului x, obtinem:

adica , ceea ce inseamna ca subspatiul  este invariant fata de f.

            Notand fi restrictia operatorului f la , aceasta restrictie este deci un operator al lui . Daca x este un vector propriu al lui , atunci este vector propriu si pentru f si deci trebuie sa corespunda uneia din valorile proprii ale lui f. Presupunand ca x este vector propriu corespunzator valorii proprii  cu , deducem ca , adica , ceea ce este o contradictie. In concluzie, singura valoare proprie a lui  este  si deci polinomul caracteristic al lui  este de forma .

            Pe de alta parte, deoarece suma este directa, potrivit unei teoreme din paragraful anterior, rezulta ca polinomul caracteristic al lui f este produsul polinoamelor caracteristice ale operatorilor . Rezulta ca  .

            Observam ca operatorul este nilpotent deoarece este nul pe Vi. Putem deci aplica propozitia anterioara si obtinem o baza a lui Vi in care matricea lui  este constituita din blocuri Jordan plasate pe diagonala, toate corespunzatoare valorii proprii . In aceeasi baza matricea lui  se obtine din matricea lui  careia i se plaseaza  pe diagonala, adica se obtin celule Jordan corespunzatoare valorii proprii . Bazele spatiilor astfel obtinute, puse la un loc, vor forma baza cautata a lui V.  Q.E.D.






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
TRANSLATIA
Ecuatia caracteristica
Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale
Definitii, exemple. Legatura cu H
Impartirea la binomul . Schema lui Horner
Forme ale ecuatiei dreptei in plan
Functia cosinus
Calculul probabilitatilor conditionate
Triedrul lui Frenét