Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale


Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale




Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale

Aplicatia 1

Fie ecuatia diferentiala cu conditia initiala y(0) = 1. Sa se determine prima si a doua derivata in punctul x0 = 0 utilizand metoda dezvoltarii in serie Taylor.

Calculam valoarea primei derivate in punctul x0:

Rezulta:

Calculam valoarea celei de a doua derivate in punctul x0:

Rezulta:

Aplicatia 2

Dinamica incalzirii/racirii traductoarelorde temperatura poate fi descrisa de o ecuatie de tipul:

unde: T - temperatura asociata semnalului generat de traductor;

T1 este temperatura mediului in care este introdus traductorul

(T1 = 900C);

a - constanta de timp (a = 2).

Sa se determine valorile aproximative y1, y2,.y10 utilizand algoritmul metodei Euler

Rescriem ecuatia sub forma:

unde. T = y, t = x, in conditia initiala: y0 = 20 (temperatura mediului ambiant).

Aplicand algoritmul lui Euler, cu relatia generala:

se obtine:

Rezulta:

s.a.m.d.

y3 = 81,25; y4 = 85,625; y5 = 87,8125; y6 = 88,90625; y7 =89,44312; y8 = 89,72656; y9 = 89,86328; y10 = 89.93264.

Aplicatia 3

Sa se solutioneze ecuatia diferentiala de la aplicatia 2 cu algoritmul Runge-Kutta de ordinul patru si sa se compare cu rezultatul obtinut prin algoritmul lui Euler.

Aplicand relatiile algoritmului Runge-Kutta de ordinul patru, se obtine:

a.      pentru i = 0:

Rezulta:

b. pentru i = 1:

Rezulta:

Tabel comparativ intre metodele Euler si Runge-Kutta, raportate la valorile calculate analitic:

i

ti (xi)

Ti R-K (yi)

Ti E (yi)

Ti analitic

[min]

[0C]

0

0,0

20

20

20

1

1,0

47,52604

55,0

47,54285

2

2,0

64,22803

72,5

64,24844

Obs. Comparand rezultatele obtinute prin cele doua metode, se evidentiaza urmatoarele concluzii:

-metoda Runge-Kutta este mai laborioasa insa mult mai exacta;

-metoda Euler poate fi utilizata atunci cand sunt necesare evaluari rapide, cu rezultate aproximative.






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


INEGALITATI SI INDUCTIA MATEMATICA
Gometrie analitica (clasa a XI-a)
Proprietatile logaritmilor
Produs cartezian
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
OPERATII CU FRACTII
Polinomul Newton de interpolare de prima speta
Functii monotone
Functii bijective
Aplicatii liniare