	Biologie	Chimie	Didactica	Fizica	Geografie	Informatica
	Istorie	Literatura	Matematica	Psihologie

Matematica

Index » educatie » Matematica
» Serii de numere. Criterii de convergenta

Serii de numere. Criterii de convergenta

Definitia 1.5.1. Fie un sir de numere reale si un sir definit prin: . Se numeste serie de numere reale asociata sirului , simbolul , iar se numeste sirul sumelor sale partiale.

Seria de numere reale se numeste convergenta si are suma s, daca si numai daca sirul sumelor partiale este convergent si are limita s . Seria de numere reale se numeste divergenta, daca sirul sumelor partiale este divergent.

Criteriul general de convergenta al lui Cauchy

este convergenta , astfel incat

, .

Pentru se obtine

Criteriu necesar de convergenta. Conditia necesara, dar nu si suficienta, ca o serie sa fie convergenta este ca .

Exemplu

Seria este divergenta, cu toate ca .

1.6 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenta

Criteriul I al comparatiei

Fie si doua serii cu termeni pozitivi, astfel ca , . Atunci:

a) daca seria este convergenta, seria va fi convergenta

b) daca seria este divergenta, seria va fi divergenta.

Criteriul II al comparatiei

Fie si doua serii cu termeni pozitivi, astfel ca , .

Atunci:

a) daca seria este convergenta, seria va fi convergenta

b) daca seria este divergenta, seria va fi divergenta.

Criteriul la limita

Fie si doua serii cu termeni pozitivi, astfel ca .

Atunci:

a) daca , cele doua serii au aceeasi natura

b) daca , iar seria este convergenta, seria va fi convergenta

c) daca , iar seria este divergenta, seria va fi divergenta.

Criteriul radacinii (al lui Cauchy)

Fie o serie cu termeni pozitivi. Daca exista un numar natural N si un numar , astfel incat pentru sa avem , seria este convergenta, iar daca , seria este divergenta.

Corolar

Fie o serie cu termeni pozitivi si . Atunci:

a) daca , seria este convergenta

b) daca , seria este divergenta

c) pentru , criteriul nu se aplica.

Criteriul raportului (al lui d Alembert)

Fie o serie cu termeni pozitivi. Daca exista un numar natural N si un numar , astfel incat pentru sa avem , seria este convergenta, iar daca , seria este divergenta.

Corolar

Fie o serie cu termeni pozitivi si . Atunci:

a) daca , seria este convergenta

b) daca , seria este divergenta

c) pentru , criteriul nu se aplica.

Exemple

Se considera seria . Sa se arate ca ea este convergenta si ca , iar .

Indicatie de rezolvare

Seria are aceeasi natura cu seria .

Cum , din criteriul I de comparatie rezulta convergenta seriei.

Sa se arate ca seria este divergenta si , iar .

Indicatie de rezolvare

Seria are aceeasi natura cu seria , care este divergenta, deoarece .

Rezulta ca , iar .

Observatie. Criteriul raportului da numai conditii suficiente de convergenta si divergenta, asa dupa cum rezulta din exemplele anterioare.

Criteriul logaritmic

Fie o serie cu termeni pozitivi. Daca exista un numar natural N si un numar , astfel incat pentru sa avem , seria este convergenta, iar daca , seria este divergenta.

Corolar

Fie o serie cu termeni pozitivi si . Atunci:

a) pentru , seria este convergenta

b) pentru , seria este divergenta

c) pentru , criteriul nu se aplica.

Criteriul lui Kummer

Fie o serie cu termeni pozitivi. Daca exista un sir de numere si un numar natural N si un numar , astfel incat , seria este convergenta.

Daca , si seria este divergenta, atunci seria este divergenta.

Corolar

Fie sirul , astfel incat seria este divergenta. Atunci seria cu termeni pozitivi este:

a) convergenta, daca ;

b) divergenta, daca .

Exemplu

Se considera seria . In acest caz, , iar seria este divergenta;
de unde rezulta ca seria este convergenta pentru .

Criteriul Raabe-Duhamel

Fie o serie cu termeni pozitivi. Daca exista un numar natural N si un numar , astfel incat pentru sa avem , seria este convergenta, iar daca , seria este divergenta.

Corolar

Fie o serie cu termeni pozitivi si . Atunci:

a) pentru , seria este convergenta

b) pentru , seria este divergenta

c) pentru , criteriul nu se aplica.

Criteriul de condensare al lui Cauchy

Fie o serie cu termeni pozitivi si descrescatori, iar un sir divergent de numere naturale, astfel incat sirul cu termenul general sa fie marginit. Atunci seriile si au aceeasi natura.

Observatie. Sirul se alege cel mai frecvent ca fiind , , care satisface conditiile criteriului de condensare.

Criteriul lui Bertrand

Seria cu termeni pozitivi este:

convergenta, daca ;

divergenta, daca .

Exemplu

Se considera seria .

de unde rezulta ca seria este convergenta pentru si divergenta pentru .

Criteriul lui Gauss

Seria cu termeni pozitivi pentru care , unde , iar sirul este marginit, este:

convergenta, daca sau daca ; ;

divergenta, daca sau daca ; .

Exemplu

Seria hipergeometrica

Din criteriul raportului rezulta ca seria este convergenta pentru si divergenta pentru .

Pentru .

Se utilizeaza dezvoltarea

Se poate scrie , unde este un sir marginit. Aplicand criteriul lui Gauss, seria este convergenta pentru si divergenta pentru .

Criteriul integral Mac Laurin-Cauchy

Fie seria , care se poate scrie sub forma , unde functia f este continua, pozitiva si monoton descrescatoare.

Atunci seria este:

a) convergenta, daca ;

b) divergenta, daca ,

unde F este o primitiva a lui f.

Exemple

Sa se studieze convergenta seriei

Indicatie de rezolvare

, iar,

deci seria este divergenta.

Sa se studieze convergenta seriei .

Indicatie de rezolvare

si cum rezulta ca seria este convergenta.

Criteriul lui Ermakov

Fie seria , care se poate scrie sub forma , unde functia f este continua, pozitiva si monoton descrescatoare.

Atunci seria este:

a) convergenta, daca , astfel incat ;

b) divergenta, daca , astfel ca .

Exemplu

Sa se studieze natura seriei .

Indicatie de rezolvare

iar , deci seria este convergenta.

1.7 Serii absolut convergente. Serii alternate

Definitia 1.7.1. O serie cu termenii oarecare se numeste absolut convergenta, daca seria modulelor este convergenta.

Definitia 1.7.2. Daca seria este convergenta, dar seria modulelor este divergenta, seria se numeste semiconvergenta.

Teorema 1.7.3. O serie cu termeni oarecare absolut convergenta este convergenta.

Observatie. Reciproca teoremei nu este adevarata, deoarece exista serii convergente, dar care nu sunt absolut convergente.

Exemplu: Seria lui Riemann , pentru este absolut convergenta, iar pentru este semiconvergenta.

Observatie. Seriile cu termeni pozitivi sunt absolut convergente. Criteriile de convergenta stabilite la seriile cu termeni pozitivi sunt valabile si pentru seriile absolut convergente.

Teorema 1.7.4. Daca intr-o serie absolut convergenta se schimba ordinea termenilor in mod arbitrar, obtinem o noua serie absolut convergenta cu aceeasi suma.

Observatie. Teorema este valabila si pentru seriile cu termeni pozitivi care sunt absolut convergente.

Teorema lui Riemann. Intr-o serie de numere reale, semiconvergenta, se poate schimba ordinea factorilor, astfel incat seria obtinuta sa aiba ca suma un numar dat.

Exemplu

Fie seria semiconvergenta .

Se pot schimba termenii in ordinea

iar noua serie are suma .

Criterii de convergenta simpla (semiconvergenta)

Criteriul lui Dirichlet

Daca seria se poate scrie sub forma , unde sirul este monoton si marginit, iar seria este convergenta, atunci seria este convergenta.

Criteriul lui Abel

Daca seria se poate scrie sub forma , unde este un sir de numere pozitive descrescator si convergent la zero, iar seria are sirul sumelor partiale marginit, atunci seria este convergenta.

Exemplu

Sa se arate ca seria este convergenta pentru .

Indicatie de rezolvare

Sirul cu termenul general este monoton descrescator si convergent la zero (utilizand teorema Cesaro-Stolz), iar seria are sirul sumelor partiale marginit, deoarece , de unde .

Definitia 1.7.5. Se numeste serie alternata o serie de forma , unde .

Criteriul lui Leibniz

Daca intr-o serie alternata sirul este monoton descrescator si are limita zero, atunci seria este convergenta.

1.8 Operatii cu serii

Fie si doua serii. Atunci seriile , si , unde se numesc, respectiv, suma, diferenta si produsul seriilor si .

Daca seriile si sunt convergente si au sumele A si B, atunci seria este convergenta si are suma .

Teorema lui Abel

Daca seriile , si seria produs sunt convergente si daca A, B, C sunt, respectiv, sumele lor, atunci .

Teorema lui Mertens

Daca seriile , sunt convergente si cel putin una dintre ele este absolut convergenta, atunci seria produs este convergenta si .

Teorema lui Cauchy

Daca seriile , sunt absolut convergente, atunci seria produs este absolut convergenta.

1.9 Serii in . Serii de numere complexe

Fie sirul de elemente din si

Sirul se numeste sirul sumelor partiale pentru seria .

Definitia 1.9.1. Seria este convergenta, daca sirul sumelor partiale este convergent.

Suma seriei este limita sirului sumelor partiale.

Criteriul general al lui Cauchy

Seria de elemente din este convergenta daca si numai daca pentru , , astfel incat si .

Consecinta. Daca seria de elemente din este convergenta, atunci , iar aceasta reprezinta o conditie necesara, dar nu suficienta de convergenta a unei serii.

Definitia 1.9.2. Se numeste sirul sumelor partiale pentru seria de numere complexe , sirul , definit prin

Definitia 1.9.3. Seria de numere complexe este convergenta, daca sirul sumelor partiale este convergent.

Teorema 1.9.4. Seria de numere complexe , unde , pentru , este convergenta daca si numai daca seriile de numere reale si sunt convergente. Daca este convergenta si are suma , atunci si .

Criteriul lui Cauchy

Seria de numere complexe este convergenta daca si numai daca , astfel incat si .

Definitia 1.9.5. Fie o serie de numere complexe. Daca seria de numere reale este convergenta, spunem ca seria este absolut convergenta.

Teorema 1.9.6. O serie de numere complexe absolut convergenta este convergenta.

Definitia 1.9.7. Seriile de numere complexe convergente, pentru care seria modulelor nu este convergenta se numesc serii de numere complexe semiconvergente.

Teorema 1.9.8. Seria de numere complexe , unde este absolut convergenta daca si numai daca seriile de numere reale si sunt absolut convergente.

1.10 Aplicatii

Sa se arate ca urmatoarele serii sunt convergente si sa se determine sumele lor:

a) ; b) ;

c) ;

d) ; e) ;

f) .

Indicatie de rezolvare

a) Sirul sumelor partiale are termenul general

deci seria este convergenta si are suma ;

b) . Pentru calculul limitei sirului sumelor partiale se considera functia . Atunci .

In acelasi timp,

Deoarece , rezulta si astfel seria este convergenta si are suma ;

c) ;

d) , deci seria este convergenta si are suma ;

e) ;

f) .

Sa se insumeze seriile urmatoare date prin termenii generali:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

Indicatie de rezolvare

a) , deci pentru ;

b) ;

rezulta

;

d) ;

f) ;

g) ;

h) .

Folosind criteriul lui Cauchy, sa se studieze natura seriei .

Indicatie de rezolvare

Pentru , se observa ca , deci seria este divergenta.

Pentru , se aplica criteriul lui Cauchy; deci:

Luand , se va obtine

si cum rezulta ca nu se verifica conditia din criteriul lui Cauchy, deci seria este divergenta.

Folosind criteriul lui Cauchy, sa se demonstreze convergenta seriei .

Indicatie de rezolvare

deci seria este convergenta.

Utilizand criterii de comparatie, sa se stabileasca natura urmatoarelor serii:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) .

Indicatie de rezolvare

a) se considera si ; cum , rezulta ca cele doua serii au aceeasi natura si cum seria este convergenta, si seria este convergenta;

b) ,

iar seria este convergenta, deci si seria este convergenta;

c) divergenta;

d) convergenta;

e) si cum seria este divergenta rezulta ca si seria este divergenta;

f) pentru , seria devine care este convergenta; pentru si cum seria este convergenta rezulta ca si seria este convergenta; pentru

si cum seria este divergenta, rezulta ca si seria este divergenta; pentru , seria este divergenta, ea fiind ;

g) pentru seria este convergenta; pentru se compara cu seria ; cum rezulta ca seria va fi divergenta; pentru , seria este divergenta, ea fiind ;

h) divergenta;

i) convergenta.

Sa se stabileasca natura urmatoarelor serii de numere pozitive

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h)

i) ;

j) ;

k) ; l) ;

m) ; n) o) ;

p) ; r) . s) ;

t) ; u) ;

v) ;

w) .

Indicatie de rezolvare

a) convergenta;

b) , de unde rezulta ca pentru seria este convergenta, iar pentru seria este divergenta; pentru , ;

c) convergenta;

d) , de unde rezulta ca pentru seria este convergenta, pentru seria este divergenta, iar pentru se obtine seria care este divergenta;

e) , de unde rezulta ca pentru seria este convergenta, pentru seria este divergenta, iar pentru , , deci seria este divergenta;

f) convergenta;

g) , deci pentru seria este convergenta, pentru seria este divergenta, iar pentru , , deci seria este divergenta;

h) pentru seria este convergenta, pentru este divergenta;

i) , deci pentru seria este convergenta, pentru seria este divergenta, iar pentru se obtine seria armonica generalizata , care este convergenta pentru si divergenta pentru ;

j) , deci pentru seria este convergenta, pentru seria este divergenta, iar pentru avem ; deoarece , rezulta ca si din criteriul III de comparatie, seria este divergenta;

k) convergenta;

l) convergenta;

m) convergenta;

n) convergenta;

o) , de unde rezulta ca pentru seria este convergenta, iar pentru seria este divergenta; pentru , se obtine seria armonica divergenta;

p) pentru seria este convergenta, iar pentru seria este divergenta;

r) divergenta, deoarece ;

s) divergenta;

t) ;

se considera functia , definita prin si se determina limita acesteia in punctul , se va obtine:

deci seria este divergenta;

u) pentru seria este divergenta, pentru seria este convergenta;

v) pentru seria este convergenta, pentru seria este divergenta;

w) pentru seria este divergenta, pentru seria este convergenta.

Pentru , se utilizeaza inegalitatea , de unde rezulta ca , deci seria este divergenta.

1.10.7 Sa se studieze natura seriei armonice generalizate:

Indicatie de rezolvare

Pentru , deci seria este divergenta.

Pentru este sir descrescator, deci seria armonica generalizata are aceeasi natura cu seria , care este seria geometrica cu ratia . Deci, pentru seria este divergenta, iar pentru seria este convergenta.

1.10.8 Sa se arate ca seria cu termeni pozitivi si monoton descrescatori are aceeasi natura cu seria .

Indicatie de rezolvare

Se considera . Rezulta

de unde si din criteriul I de comparatie seriile si au aceeasi natura.

Sa se stabileasca natura seriilor alternate:

a) ;

c) ;

Indicatie de rezolvare

a) sirul cu termenul general este un sir descrescator, deoarece , , deci conform criteriului lui Leibniz, seria este convergenta;

b) , deci seria este divergenta;

c) convergenta;

d) , sir descrescator si convergent la zero, deci seria este convergenta.

Sa se studieze convergenta absoluta si semiconvergenta seriilor cu termenii oarecare:

a ; b) ; c) ;

d) ;

e) ; f) ;

g) unde este un sir marginit

h) i)

j) .

Indicatie de rezolvare

a) si utilizand criteriul I de comparatie, seria este absolut convergenta;

b) divergenta;

c) absolut convergenta;

d) pentru seria este absolut convergenta, pentru seria este divergenta, deoarece nu se verifica conditia necesara de convergenta a unei serii, iar pentru , seria este semiconvergenta, utilizand criteriul lui Leibniz;

e) pentru seria este absolut convergenta, iar pentru seria este divergenta, deoarece ;

f) pentru seria este divergenta, deoarece , iar pentru seria este absolut convergenta;

g) seria este absolut convergenta, deoarece ;

h) se utilizeaza criteriul raportului pentru seria modulelor si obtinem ca pentru , seria este convergenta si pentru , este divergenta; pentru se obtine seria convergenta ;

i) semiconvergenta;

j) pentru seria modulelor se aplica Raabe-Duhamel si obtinem ca pentru seria este absolut convergenta, iar pentru seria modulelor este divergenta.

Pentru avem

unde . Am obtinut seria alternata , pentru care , pentru ; deci, in acest caz sirul este crescator si limita este nenula, deci seria este divergenta.

Pentru sirul este descrescator si se demonstreaza ca are limita zero.

Pentru aceasta, fie .

Rezulta ca si inlocuind pe si pe vom obtine . Cum sirul este descrescator si marginit inferior, el este convergent, deci sirul este convergent.

Fie si trecand la limita in cele doua relatii de recurenta obtinute anterior, rezulta ca . Utilizand criteriul Leibniz, seria este convergenta.

1.10.11 Sa se arate ca:

a) suma dintre o serie convergenta si una divergenta este o serie divergenta;

b) exista serii divergente a caror suma este o serie convergenta.

Indicatie de rezolvare

a) fie o serie convergenta si o serie divergenta; daca seria ar fi convergenta, atunci diferenta dintre aceasta si seria ar fi o serie convergenta, dar diferenta este seria , care este o serie divergenta; rezulta ca seria este divergenta;

b) seriile sunt divergente, dar suma lor este seria cu suma egala cu zero, deci este o serie convergenta.

1.10.12 Sa se efectueze produsul seriilor absolut convergente si si sa se deduca de aici suma seriei .

Indicatie de rezolvare

Seria valorilor absolute este pentru ambele serii. Pentru aceasta, sirul sumelor partiale este convergent catre e, de unde rezulta ca ambele serii sunt absolut convergente. Din Teorema lui Cauchy seria produs este absolut convergenta si suma ei verifica .

Dar . Cum .

Deci, =0.

1.10.13 Se dau sirurile definite prin formulele de recurenta:

a) Sa se demonstreze ca cele doua siruri sunt convergente si ca au aceeasi limita .

b) Sa se studieze natura seriei .

Indicatie de rezolvare

a) se demonstreaza ca sirul este monoton descrescator de termeni pozitivi, iar este monoton crescator, prin inductie matematica; notand si si trecand la limita in relatiile de recurenta, rezulta ca ;

b) seria numerica este cu termenii pozitivi si aplicandu-se criteriul raportului, rezulta ca este convergenta.

1.10.14 Fie un sir de elemente din si un sir definit prin , unde sunt fixate, astfel incat .

a) Sa se demonstreze ca sirul este convergent.

b) Daca sirul este monoton crescator, sa se studieze natura seriei .

Indicatie de rezolvare

b) fie ;

daca termenul general al seriei este , din criteriul raportului, rezulta ca

deci seria este convergenta.

1.10.15 Sa se studieze natura seriilor complexe

b) .

Indicatie de rezolvare

a) seriile de numere reale si sunt absolut convergente, de unde rezulta si convergenta seriei complexe;

b) pentru seria se aplica criteriul Dirichlet, considerandu-se sirul descrescator la zero si seria avand sirul sumelor partiale marginit. Rezulta seria convergenta. Similar se arata convergenta seriei , deci seria de numere complexe va fi convergenta.