Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Piramida


Piramida


Piramida

Definitie : Fie S=[A1A2A3 . An] o suprafata poligonala cu frontiera poligon, inclusa intr-un plan a, V un punct care nu apartine planului a. Se numeste piramida de varf V si baza S reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde AIS.



Se observa ca piramida este o generalizare a tetraedrului

Vom nota piramida de varf V si baza S prin P=[VA1A2A3 . An]. Dupa numarul laturilor poligonului de baza , piramidele se vor numi : triunghiulare, patrulatere etc.( fig 4)

Suprafetele triunghiulare [VA1A2], [VA2A3], . , [VAnA1] se numesc fetele laterale ale piramidei , iar suprafata poligonala S se numeste baza piramidei. Reuniunea tuturor fetelor unei piramide formeaza suprafata sau frontiera piramidei. Multimea punctelor piramidei care nu apartin frontierei sale formeaza interiorul piramidei. Segmentele [VA1], [VA2], [VA3], . , [VAn], [A1A2], [A2A3], . , [AnA1] se numesc muchiile piramidei , iar dintre acestea [VA1], [VA2], . , [VAn] sunt muchii laterale. Puntele V,A1,A2, . ,An se numesc varfurile piramidei , iar A1,A2, . ,An se mai numesc si varfurile bazei. Distanta de la varful unei piramide la baza acesteia se numeste inaltimea piramidei . Prin inaltime se va intelege si segmentul determinat de varf si baza pe dreapta perpendiculara pe planul bazei , dusa prin V, iar in acest caz , intersectia acestei drepte cu planul bazei se numeste piciorul inaltimii ; sensul atribuit cuvantului "inaltime" va rezulta din context. Piramida este determinata daca sunt date varfurile ei.

Aria piramidei.

Suma ariilor tuturor fetelor laterale unei piramide se numeste aria laterala a piramidei si se noteaza cu Al(P) , iar suma ariilor tuturor fetelor unei piramide se numeste aria totala a piramidei si se noteaza cu At(P) . Daca vom nota aria bazei cu Ab atunci evident avem ca

Al (P)= A[VAiAi+1]) + A[VAnA1]    si At (P)= Al (P) + Ab.

Piramida de varf V si baza S=[A1A2A3 . An] se numeste piramida regulata daca A1A2A3 . An este un poligon regulat si piciorul inaltimii piramidei coincide cu centrul poligonului A1A2A3 . An. Inaltimea unei fete laterale a unei piramide regulate se numeste apotema piramidei(fig.5) si se noteaza ap , iar apotema poligonului de la baza se numeste apotema bazei si se noteaza ab. Piramida cu patru fete ( trei laterale plus baza) se numeste tetraedru( tetra=patru, hedra= fata), iar tetraedrul cu toate fetele congruente se numeste tetraedru regulat. Acesta va fi studiat in capitolele ce vor urma.

Observatie : Daca P este o piramida regulata , fetele laterale sunt triunghiuri isoscele si

Al (P)=.

Sectiuni in piramida

Se considera o piramida P = [VA1A2A3 . An ] si un plan b. Daca intersectia dintre piramida si plan nu este vida , atunci multimea b P se numeste sectiunea piramidei prin planul b (fig 6). Si in acest caz , un rol mai important il au sectiunile prin plane paralele cu baza.

Proprietate: Daca inaltimea unei piramide P este I, atunci sectiunea unei piramide printr-un plan b paralel cu baza, situat in acelasi semispatiu cu varful V fata de planul bazei, la distanta I I fata de varf , sectioneaza piramida dupa o suprafata poligonala asemenea cu baza ,raportul de asemanare fiind .

Demonstratie Determinam pe inaltimea [VO] punctul O astfel ca VO =I ( fig .7). Atunci O Ib si punctele V, O sunt de o parte si de alta a planului b. Fie S baza piramidei P si S =P b. Daca M este un punct oarecare al planului lui S , V si M sunt de o parte si de alta a planului b, segmentul [VM] intersecteaza planul b intr-un punct M , deci M IP b= S . Vom arata ca functia



f: S S , f(M)=M , este o asemanare de raport . Evident , f este injectiva si din definitia lui S rezulta ca e si surjectiva. Luand punctele M,NIS, avem

si (caci MN//M N si OM//O M ), deci

. Asadar MN = f(M)f(N) si conform definitiei asemanarii rezulta ca f este o asemanare.

Se observa ca multimea punctelor piramidei P situata in acelasi semispatiu cu V fata de planul b , reunita cu S determina o piramida P de varf V si baza S . Daca I =0 , atunci intersectia dintre planul b si o piramida P este un punct, varful V. Daca I =I, atunci intersectia dintre planul b si piramida P este chiar baza S







Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate