Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Geometria suprafetelor


Geometria suprafetelor


GEOMETRIA SUPRAFETELOR

1. Ecuatiile suprafetelor

Fie D un domeniu dreptunghiular dintr-un spatiu E2 (multimea punctelor (u,v) din E2 pentru care a u b, c v d). Consideram o aplicatie continua a lui D in E3



f, g, h fiind functii continue pe D.

Multimea: , se numeste suprafata.

Notam:

(1)

Ecuatia: (u,v)ID se numeste ecuatia vectoriala a suprafetei, iar

x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v), (u,v)ID

se numesc ecuatiile parametrice ale suprafetei S

Fiecarui punct (u,v)ID ii corespunde un punct determinat P al suprafetei; u si v vor fi numite coordonatele curbilinii ale punctului P si vom nota P(u,v).

Presupunem ca f, g si h sunt diferentiabile si au derivate partiale continue intr-o vecinatate a punctului M0(u0,v0), iar determinantii functionali:

(2)

nu sunt toti nuli. Atunci, intr-o vecinatate U a lui M0 se pot elimina u, v din cele trei ecuatii. In acest caz in vecinatatea U a lui M0 suprafata poate fi reprezentata sub forma (carteziana) implicita:

F(x,y,z) = 0 (3)

Daca una din derivatele partiale ale functiei F este nenula in punctul M0, de exemplu atunci suprafata este definita intr-o vecinatate a punctului M0 sub forma implicita:

z=y (x,y) (4)

Un sistem de doua ecuatii:

F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 (5)

reprezinta, in general o curba.

Definitia suprafetei are la baza ideea ca orice regiune suficient de mica dintr-o suprafata S = r(D) trebuie sa semene cu o regiune din plan. Astfel proprietatea suprafetei S = r(D) de a fi neteda este asigurata de regularitatea functiei adica de conditia ca cel putin unul din jacobienii (2) este nenul.

 
Proprietatea lui S = r(D) de a nu se taia pe ea insasi este asigurata de injectivitatea functiei . Pentru a asigura proprietatea ca la orice multime deschisa din plan corespunde o multime deschisa de pe S presupunem ca functia inversa r-1: r(D) D este continua.

Definitia 1. Consideram un domeniu plan D R2 si o fuctie regulata, injectiva si cu proprietatea ca functia r-1: S = r(D) R3 este continua. Multimea S = r(D) se numeste in acest caz suprafata simpla.

Orice suprafata din R3 poate fi conceputa ca reuniune unor suprafete simple.

Fig. 1 Fig.2

Exemplu. Ecuatia vectoriala a sferei cu centrul in C(a,b,c) si de raza R este:

Ecuatiile parametrice ale aceleiasi sfere sunt:

(6)

iar ecuatia implicita a sferei este:

S : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2.    (7)

Observatie. Conditia de regularitate a functiei

poate fi exprimata cu ajutorul derivatelor partiale ale functiei . Astfel, daca notam:

(8)

atunci conditia de regularitate (conditia ca cel putin unul din jacobienii (2) sa fie nenul) se poate scrie sub forma adica

(9)

unde , etc.

1.1. Curbe coordonate

Planul tangent si normala la suprafata

Definitia 2. Se numeste curba pe suprafata , o multime G de puncte de pe S care verifica o ecuatie de forma:

(10)

unde u(t) si v(t) sunt functii diferentiabile.

Definitia 3.

Se numeste curba coordonata de tip u pe suprafata , curba:

(11)

deci si .

Se numeste curba coordonata v pe suprafata S curba:

deci si .

Pe suprafata S=r(D) se gasesc doua familii de curbe coordonate Gu Gv care sunt imaginile prin r ale dreptelor v=v0 respectiv u=u0 din planul uOv. Prin orice punct regulat al suprafetei S trece cate o singura curba din fiecare din familiile (u) si (v). Vectorii viteza, in punctul regulat P0(u0,v0)I S, la curbele Gu si Gv ce trec prin acest punct sunt coliniari, ceea ce am aratat la punctul (1) unde, cu notatiile (8) avem relatia (9).



Denumire. Vectorii si se numesc viteze partiale pe S=r(D) in P0(u0,v0)IS

In baza relatiei (9) avem deci

Notam cu si cu planul determinat de punctul P0(u0,v0) si de vectorii si , tangenti in P0 la Gu si Gv (fig.18).

Definitia 9. Se numeste tangenta la suprafata S=r(D) in punctul M0=r(u0,v0)I S o dreapta tangenta in M0 la o curba G de pe S, care contine punctul M0.

 


Fig.3

Teorema 1 Fie un domeniu D R2, o functie r: D R3 diferentiabila, regulata si injectiva, un punct P0=r(u0,v0) de pe suprafata S= r(D) si planul = planul (P0,). Atunci toate tangentele la suprafata S in P0 sunt continute in .

Demonstratie. Fie . Tangenta in , t - fixat, are vectorul director a carui expresie este:

adica (13)

functiile u(t) si v(t) fiind presupuse derivabile pe I.

Din relatia (13) rezulta ca vectorii , si sunt coplanari, adica reprezentantii lor cu originea in P se afla in planul (determinat de punctul P si vectorii necoliniari si ). Curba G ce trece prin P fiind arbitrara rezulta ca toate tangentele la G in P sunt continute in .


Fig.4 Fig.5

Definitia 4. Normala la suprafata intr-un punct al acesteia este dreapta care trece prin P si este perpendiculara pe planul tangent in P la S

Din definitia normalei si a planului tangent rezulta ca un vector normal la S in P este . In continuare ne vom referi la acest vector normal si nu la l cu lIR, care este de asemenea normal la S

Teorema 2. Daca functia r : D R3 cu D R2 este diferentiabila, regulata si injectiva si suprafata S este imaginea sa, S=r(D), atunci, in orice punct P=r(u,v) planul tangent si normala la S au ecuatiile:

(14)

(15)

unde este vectorul normal la S in P.

Demonstratie.

Consideram un punct arbitrar Q din planul tangent, de vector de pozitie

fata de O. Vectorul este coplanar cu planul (fig.5) deci: , adica produsul scalar , de unde rezulta ecuatia (14). Analog, , vectorii si sunt coliniari:



Notand ca in enunt , rezulta ecuatia (15).

Observatii.

Ecuatia (14) a planului tangent se mai scrie sub forma:

(16)

sau trecand la coordonatele vectorilor:

(17)

sau inca:

(18)

Ecuatia normalei ( 5) se mai scrie:

(19)

sau tinand seama ca:

(20)

iar

(21)

3) Daca suprafata S este data explicit, S : z=z(x,y) cu (x,y)ID R2 si z(x,y) derivabila partial in raport cu x si y, atunci o reprezentare parametrica a suprafetei este:

S : x=u, y=v, z=z(u,v) cu (u,v)ID

In acest caz vectorul normal in punctul curent la S este:

(22)

(notatiile lui MONGE) (23)

Ecuatiile (18) si (21) devin:

PT: (X-x)(-p)+(Y-y)(-q)+(Z-z(x,y))

(25)

2. Campuri pe suprafete

2.1. Campuri normale

Definitia 4. O functie vectoriala care asociaza fiecarui punct MIS un vector f(M) tangent la R3 in M se numeste camp euclidian pe suprafata S

Fie , un camp vectorial pe suprafata S. Daca functiile X,Y,Z sunt diferentiabile pe S atunci campul se numeste diferentiabil.

Un camp vectorial cu proprietatea ca in fiecare punct M al suprafetei S vectorul (M) este tangent in M la S se numeste camp tangent la S

Un camp vectorial cu proprietatea ca in fiecare punct M al suprafetei S vectorul (M) este ortogonal in M la S (adica (M)in M la S) se numeste camp normal pe suprafata S

Fie S=r(D) cu r : D R3 functie diferentiabila, regulata si injectiva. Functia vectoriala:

(26)

ataseaza fiecarui punct M din D un vector normal la S in M= (fig. 20). Deci functia poate fi privita ca un camp normal definit local pe S

Daca suprafata este data implicit S : F(x,y,z)=c atunci un camp normal pe S este pus in evidenta de urmatoarea teorema.


Teorema 3 Daca S : F(x,y,z)=c este o suprafata, atunci gradientul , definit pe S este camp normal pe S care nu se anuleaza in nici un punct al suprafetei S (fig. 6).

Fig.6







Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate