Functii implicite

Functii implicite

Ecuatia , defineste implicit functia . Calculati derivatele si , stiind ca .

Solutie. Fie functia . Functia implicita exista intr-o vecinatate punctelor cu proprietatea , altfel spus, in punctele pentru care . Cu aceasta presupunere putem scrie:

.

Reamintim ca pentru calculul derivatei a doua, va trebui sa folosim in expresia primei derivate faptul ca este functie de , adica

si apoi vom deriva ca raport de functii.

Avem

.

Ecuatia , unde , defineste implicit functia . Calculati si .

Solutie. Functia implicita exista in vecinatatea punctelor din cu proprietatea , adica . De exemplu, poate fi un astfel de punct.

In aceasta ipoteza sunt indeplinite cerintele teoremei functiilor implicite si atunci se pot calcula derivatele partiale ale functiei , derivand relatia in raport cu respectiv cu . Avem

,

de unde obtinem .

,

de unde se obtine.

Vom observa ca putem aplica direct formulele (5) si evident, obtinem aceleasi relatii intr-o vecinatate a punctului :

.

Ecuatia , defineste implicit functia . Sa se calculeze diferentialele si .

Solutie. Vom introduce notatia . Atunci functia exista intr-o vecinatatea a punctelor din cu proprietatea , adica . Asadar, exista multimile deschise si si functia explicita , definita prin expresia , astfel incat

pe ;

respectiv, exista multimea si functia explicita , definita prin expresia , astfel incat

pe .

Vom calcula diferentialele si pe . Avem

;

.

Pentru calculul derivatelor partiale folosim formulele (5):

;

si deci,

.

Calculul derivatelor partiale de ordinul al doilea:

;

;

Diferentiala de ordinul al doilea are forma

.

Ecuatia , unde este de clasa , defineste implicit functia . Aratati ca functia verifica ecuatia

.

Solutie. Definim functia . Vom observa ca functia implicita

exista in vecinatatea punctelor cu proprietatea , adica . Pentru calculul derivatele partiale de ordinul intai ale functiei implicite , vom observa ca in expresia lui apare functia compusa , unde . Avem:

,

.

Fie functia , definita implicit de ecuatia , unde functia este de clasa . Aratati ca functia verifica ecuatia

.

Solutie. Consideram functia compusa , unde si . Putem scrie:

si deci,

.

Altfel. Din teorema functiilor implicite avem . Atunci avem

si .

Asadar, putem scrie

;

,

de unde deducem expresiile derivatelor partiale si .

Functiile si sunt definite implicit de sistemul

. Sa se calculeze si .

Solutie. Fie functia definita prin , unde si . Conditia de existenta a functiilor si , asa cum rezulta din teorema functiilor implicite, este

.

Prin derivarea, in raport cu , a ecuatiilor si , rezulta sistemul

Solutia sistemului are forma

.

Functiile si sunt definite implicit de sistemul de ecuatii

Calculati: si .

Solutie. Fie functia vectoriala cu valori vectoriale , definita prin .

Asadar, prin identificare obtinem functiile coordonate

si .

Conditia de existenta a functiilor implicite si este ca

.

In aceasta ipoteza, daca derivam in raport cu si respectiv cu relatiile

si ,

obtinem sistemul de ecuatii:

cu solutiile:

;

;

respectiv,

cu solutiile:

;

Functiile si sunt definite implicit de sistemul

Stiind ca , se cere sa se calculeze derivatele:

si , unde .

Solutie. Fie functia vectoriala cu valori vectoriale , definita prin .

Asadar, prin identificare rezulta functiile coordonate

si .

Conditia de existenta a functiilor implicite si este ca

.

In punctul , avem .

Asadar, exista o vecinatate, aleasa convenabil, si o unica functie , , astfel incat sa avem

, si .

Daca derivam in raport cu si respectiv cu relatiile

si ,

obtinem sistemul de ecuatii

cu solutiile:

.

In punctul aceste derivate iau valorile: si ;

Derivatele partiale ale functiilor si in raport cu se obtin din sistemul

Avem

. Atunci si ;

Aratati ca exista o unica functie , definita implicit de ecuatia

.

Stiind ca , se cere sa se calculeze si .

Solutie. Un calcul direct arata ca daca ar exista doua solutii , atunci

;

de unde, prin scaderea celor doua relatii obtinem

sau .

Deoarece, pentru orice , deducem ca .

Altfel. Fie functia . Conditia de existenta a functiei implicite care verifica ecuatia este . Deoarece , atunci aceasta conditie este verificata si putem scrie

; , deci , .

Ecuatia (cardioidei) defineste, in coordonate polare, functia .

Folosind transformarea de coordonate polare sa se calculeze .

Solutie. Din ecuatia data, prin derivarea in raport cu , obtinem . (*)

Derivand relatiile si in raport cu , obtinem respectiv

;,

de unde deducem si .

Substituind aceste expresii in relatia (*) putem scrie

.

11. Exercitii propuse

a)    Aratati ca exista o unica functie definita implicit de ecuatia

, care verifica conditia .

Calculati .

b)   Aratati ca exista o unica functie definita implicit de ecuatia

.

Sa se calculeze .

c)    Aratati ca exista o unica functie definita implicit de ecuatia .

Sa se calculeze derivatele si .

d)   Fie curba stramba .

Determinati ecuatiile tangentei si ecuatia planului osculator la curba , in punctul .

e)    Aratati ca ecuatia

defineste unic functia intr-o vecinatate a punctului . Calculati:

si .

f)     Fie functia , definita implicit de ecuatia

.

Sa se calculeze diferentiala intai si diferentiala a doua in punctual .