Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Functii implicite


Functii implicite


Functii implicite

Ecuatia , defineste implicit functia . Calculati derivatele si , stiind ca .

Solutie. Fie functia . Functia implicita exista intr-o vecinatate punctelor cu proprietatea , altfel spus, in punctele pentru care . Cu aceasta presupunere putem scrie:



.

Reamintim ca pentru calculul derivatei a doua, va trebui sa folosim in expresia primei derivate faptul ca este functie de , adica

si apoi vom deriva ca raport de functii.

Avem

.

Ecuatia , unde , defineste implicit functia . Calculati si .

Solutie. Functia implicita exista in vecinatatea punctelor din cu proprietatea , adica . De exemplu, poate fi un astfel de punct.

In aceasta ipoteza sunt indeplinite cerintele teoremei functiilor implicite si atunci se pot calcula derivatele partiale ale functiei , derivand relatia in raport cu respectiv cu . Avem

,

de unde obtinem .

,

de unde se obtine.

Vom observa ca putem aplica direct formulele (5) si evident, obtinem aceleasi relatii intr-o vecinatate a punctului :

.

Ecuatia , defineste implicit functia . Sa se calculeze diferentialele si .

Solutie. Vom introduce notatia . Atunci functia exista intr-o vecinatatea a punctelor din cu proprietatea , adica . Asadar, exista multimile deschise si si functia explicita , definita prin expresia , astfel incat

pe ;

respectiv, exista multimea si functia explicita , definita prin expresia , astfel incat

pe .

Vom calcula diferentialele si pe . Avem

;

.

Pentru calculul derivatelor partiale folosim formulele (5):

;

si deci,

.

Calculul derivatelor partiale de ordinul al doilea:

;

;

Diferentiala de ordinul al doilea are forma

.

Ecuatia , unde este de clasa , defineste implicit functia . Aratati ca functia verifica ecuatia

.

Solutie. Definim functia . Vom observa ca functia implicita

exista in vecinatatea punctelor cu proprietatea , adica . Pentru calculul derivatele partiale de ordinul intai ale functiei implicite , vom observa ca in expresia lui apare functia compusa , unde . Avem:

,

.

Fie functia , definita implicit de ecuatia , unde functia este de clasa . Aratati ca functia verifica ecuatia

.

Solutie. Consideram functia compusa , unde si . Putem scrie:

si deci,

.

Altfel. Din teorema functiilor implicite avem . Atunci avem

si .

Asadar, putem scrie

;

,

de unde deducem expresiile derivatelor partiale si .

Functiile si sunt definite implicit de sistemul

. Sa se calculeze si .

Solutie. Fie functia definita prin , unde si . Conditia de existenta a functiilor si , asa cum rezulta din teorema functiilor implicite, este

.

Prin derivarea, in raport cu , a ecuatiilor si , rezulta sistemul

Solutia sistemului are forma

.

Functiile si sunt definite implicit de sistemul de ecuatii

Calculati: si .

Solutie. Fie functia vectoriala cu valori vectoriale , definita prin .

Asadar, prin identificare obtinem functiile coordonate

si .

Conditia de existenta a functiilor implicite si este ca

.

In aceasta ipoteza, daca derivam in raport cu si respectiv cu relatiile

si ,



obtinem sistemul de ecuatii:

cu solutiile:

;

;

respectiv,

cu solutiile:

;

Functiile si sunt definite implicit de sistemul

Stiind ca , se cere sa se calculeze derivatele:

si , unde .

Solutie. Fie functia vectoriala cu valori vectoriale , definita prin .

Asadar, prin identificare rezulta functiile coordonate

si .

Conditia de existenta a functiilor implicite si este ca

.

In punctul , avem .

Asadar, exista o vecinatate, aleasa convenabil, si o unica functie , , astfel incat sa avem

, si .

Daca derivam in raport cu si respectiv cu relatiile

si ,

obtinem sistemul de ecuatii

cu solutiile:

.

In punctul aceste derivate iau valorile: si ;

Derivatele partiale ale functiilor si in raport cu se obtin din sistemul

Avem

. Atunci si ;

Aratati ca exista o unica functie , definita implicit de ecuatia

.

Stiind ca , se cere sa se calculeze si .

Solutie. Un calcul direct arata ca daca ar exista doua solutii , atunci

;

de unde, prin scaderea celor doua relatii obtinem

sau .

Deoarece, pentru orice , deducem ca .

Altfel. Fie functia . Conditia de existenta a functiei implicite care verifica ecuatia este . Deoarece , atunci aceasta conditie este verificata si putem scrie

; , deci , .

Ecuatia (cardioidei) defineste, in coordonate polare, functia .

Folosind transformarea de coordonate polare sa se calculeze .

Solutie. Din ecuatia data, prin derivarea in raport cu , obtinem . (*)

Derivand relatiile si in raport cu , obtinem respectiv

;,

de unde deducem si .

Substituind aceste expresii in relatia (*) putem scrie

.

11. Exercitii propuse

a)    Aratati ca exista o unica functie definita implicit de ecuatia

, care verifica conditia .

Calculati .

b)   Aratati ca exista o unica functie definita implicit de ecuatia

.

Sa se calculeze .

c)    Aratati ca exista o unica functie definita implicit de ecuatia .

Sa se calculeze derivatele si .

d)   Fie curba stramba .

Determinati ecuatiile tangentei si ecuatia planului osculator la curba , in punctul .

e)    Aratati ca ecuatia

defineste unic functia intr-o vecinatate a punctului . Calculati:

si .

f)     Fie functia , definita implicit de ecuatia

.

Sa se calculeze diferentiala intai si diferentiala a doua in punctual .







Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate