Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
GRUPURI FINITE


GRUPURI FINITE


GRUPURI FINITE

Definitie.Fie (G,.) un grup.Grupul (G,.) se numeste grup finit daca multimea G este finita.

Daca G=numarul

2. Ordinul unui element intr-un grup

Fie (G,∙) un grup si a

Definitie. Se numeste ordin al elementului a si se noteaza ord(a) , ordinul subgrupului <a>.

Un element a

Definitie. Un grup G se numeste ciclic daca exista aє astfel incat G=<a>(adica toate elementele sale sunt puteri ale unui anumit element aєG). Elementul a se numeste generator al grupului ciclic G.

Propozitie .

3.Teoreme remarcabile in teoria grupurilor finite

Fie (G,∙) un grup si H un subgrup al lui G. Pentru xG , notam

Observatie . rezultatul anterior ne arata ca , daca H este un subgrup al grupului (G,∙) , multimea paote fi partionata in submultimi cu acelasi numar de elemente de forma xH cu x element din G .

Teorema lui Lagrange

Fie (G,∙) un grup finit si n = ord(G).

a)      Daca H este un subgrup al lui G , atunci ord(H)|ord(G).

b)      Daca aєG, atunci ord(a)| ord(G).

Demonstratie . a) Grupul G , avand ordinul n , poate fi scris sub forma



Probleme rezolvate

1). Fie (G,∙) un grup finit cu ord(G)=p. Sa se arate ca daca p este un numar prim , atunci G nu are subgrupuri proprii.

Solutie .

2. Sa se arate ca toate grupurile care au ordinul un numar prim sunt izomorfe.

Solutie. Fie (G,∙) un grup de ordin p. Deoarece p este numar prim , grupul G are doar subgrupuri improprii.

Obs. Din problemele anterioare rezulta ce grupurile cu 2,3,4,5 elemente sunt comutative fiind izomorfe cu Z2, Z3 ,Z4 , Z5 sau K deci sunt commutative.

4. Sa se arate ca (Z4,+) si (Z9,+) au un singur subgrup propriu .

5. Fie (G,∙) un grup finit necomutativ de ordin n . Sa se arate ca nu exista x є G astfel incat ord(x)=n.

Demonstratie . Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem ca exista xє G astfel incat ord(x)=n.

Atunci G=<x> si G este comutativ. Contradictie. Rezulta ca presupunerea facuta este falsa, deci G este grup necomutativ.

7. Grupuri de ordinul 6. Grupurile (Z6,+) si (S3,o) sunt grupuri de ordinul 6 si nu sunt izomorfe deoarece Z6 este abelian si S3 nu este abelian. Vom demonstra ca orice grup G de ordinul 6 este izomorf cu Z6 sau cu S3





Politica de confidentialitate





Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate