Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Planele bisectoare ale diedrelor tetraedrului


Planele bisectoare ale diedrelor tetraedrului


Planele bisectoare ale diedrelor tetraedrului

Definitie

Planul ce trece prin muchia unui diedru si il imparte in doua unghiuri diedre congruente se numeste plan bisector al acelui diedru.

Teorema 15

Locul geometric al punctelor din interiorul unui unghi diedru, egal departate de fetele acestuia este planul bisector al diedrului.

Demonstratie



Consideram unghiul diedru format din planele

α si β cu muchia d. Fie M un punct al

locului geometric adica MA

A Iα , MB β , B I β si (MA) ≡ (MB).

Construim MC d .Cu reciproca

teoremei celor trei perpendiculare

T m( (α, β)) = m( (ACD)). ∆ MAC ≡ ∆ MBC (I.C.)

Rezulta : . Prin urmare dreptele d si CM determina un plan γ , numit plan bisector.

Teorema 16

Planele bisectoare interioare ale diedrelor unui tetraedru sunt concurente.

Demonstratie :

Consideram planele bisectoare ale diedrelor cu muchiile [DA],[DB] care se intersecteaza dupa dreapta DD ce trece prin punctul D .Punctele dreptei DD vor fi egal departate de planele (ACD) si (ADB), respectiv egal departate de planele (BCD) si (ACD).

Atunci punctele dreptei DD sunt egal departate de planele (BCD) si (ACD), adica DD este in planul bisector al diedrului de muchie [DC]. Rezulta ca planele bisectoare ale triedrului de varf D, trec prin aceeasi dreapta DD, care se numeste bisectoarea triedrului de varf D.

Deoarece DD contine o semidreapta (de origine D) interioara triedrului D(ABC) va intersecta planul (ABC) intr-un punct ID.

Daca se considera un al patrulea plan bisector, de exemplu al diedrului de muchie BC, acesta taie dreapta DD intr-un punct I IIDD. Acest punct I este egal departat de planele (BDC) si (ABC) , adica (IA1) ≡ (ID1) ; (I apartine planului bisector de muchie BC), dar fiind pe dreapta DD este egal departat de toate cele patru fete ale tetraedrului.(IA1) ≡ (IB1) ≡ (IC1) ≡ (ID1), atunci I apartine si planelor bisectoare ale celor doua diedre, deci cele sase plane bisectoare ale diedrelor tetraedrului sunt concurente.



Observatie Punctul I fiind egal departat de fetele tetraedrului , exista o sfera de centru I, tangenta celor patru fete, avand ca puncte de contact proiectiile lui I pe aceste plane, I fiind centru sferei inscrise in tetraedru.

Pentru teorema de mai sus se mai poate da urmatorul enunt echivalent: cele patru bisectoare ale triedrelor unui tetraedru sunt concurente.

Teorema 17 ( a planului bisector) :

Planul bisector al unui diedru al tetraedrului [ABCD] imparte muchia opusa intr-un raport egal cu raportul ariilor fetelor care formeaza acel diedru.

Demonstratie

Fie h distantele egale de la E la fetele (DAC) si (DAB).

T

Teorema 18 (Reciproca) :

Fie tetraedrul [ABCD] si E I BC. Daca , atunci (DAE) este planul bisector al diedrului de muchie AD.

Demonstratie

Presupunand prin absurd ca (DAE)

nu este un plan bisector, fie E' I(BC),

aflat in planul bisector al diedrului B(AD)C.

Conform teoremei planului bisector avem :

T E=E'.







Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate