Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
ť SPATII DUALE. TENSORI - BAZE BIORTOGONALE. SPATII DUALE. TRANSFORMARI DE BAZE SI DE COORDONATE IN SPATII DUALE


SPATII DUALE. TENSORI - BAZE BIORTOGONALE. SPATII DUALE. TRANSFORMARI DE BAZE SI DE COORDONATE IN SPATII DUALE




SPATII DUALE. TENSORI

BAZE BIORTOGONALE. SPATII DUALE.

TRANSFORMARI DE BAZE SI DE COORDONATE IN SPATII DUALE

    1. Functii biliniare definite in doua spatii

       Fie R sidoua spatii afine cu acelasi numar de dimensuni(n-dimensionale), peste acelasi corp C. Asa cum s-a aratat si in capitolul IV,6, se definescin aceste spatii functiile scalare biliniare, astfel ca daca x € R si f €, functiile A(x,f), care se vor nota acum prin A(x,f)=(f,x) € C, indeplinesc urmatoarele axiome:

     



     

     

     

     

    Aceste functii seamana cu produsul scalar definit in capitolul IV, dar aici cele doua argumente sunt in spatii diferite.

    Observatia1: Pe baza axiomei  intodusa in definitia acestor functii biliniare, se poate afirma ca forma biliniara este de rangul n, caci spatiile nule al ei sunt zero dimensionale. Prin analogie cu produsul scalar obisnuit vectorii f €si x € R pentru care (f,x)=0 se vor numi vectori ortogonali.

    2. Existenta bazelor biortogonale

      Se considera  o baza oarecare in R si  o baza oarecare   din . Atragem atentia ca vectorii din  ii notam cu indici scrisi sus, iar coordonatele acestor vectori le vor nota cu indici scrisi jos. Un vector  se scrie

                                                                  

iar un vector este de forma

                                                                 

    Pe baza axiomelor  avem

                                                                                                          (1)

si functia biliniara (f,x) depinde de valorile scalare care se atribuie expresiilor

    Notam  si observam ca matricea  este matricea formei biliniare, in perechea de baze alese. Notam de asemenea

                                                                (2)

si  in baza axiomei  si observatiei 1.

    Teorema1: Fiind data o functie biliniara (f,x) intr-o pereche de baze,  in R si , se poate determina o noua baza intr-unul dintre spatiile R,- fie  in R- astfel ca vectorii noii perechi de baze sa satisfaca conditiile

                                                                                        (3)

In adevar, fie schimbarea de baza in R definita de

                                                                                                     (4)

in care coeficientii  trebuie determinati astfel ca sa satisfaca conditiile (3).Pentru un i fixat, servindu-ne de (4) si axiomele  conditiile (3), se scriu astfel:

                                                                (3’)

    Determinantul sistemului (3’) este  deci (3’) are o solutie unica  data de regula lui Cramer; facand succesiv i=1,2,,n, sistemul (3’) determina coeficientii  ai schimbarii de baza (4). Am stabilit astfel ca oricarei baze  ii corespunde in R o baza unica cu proprietatea (3),

                                                                                                (5)

La fel se demonstreaza ca oricarei baze  din R ii corespunde o baza unica , cu proprietatea

                                               

Corespondenta (5) este biunivoca, caci daca bazei  i-ar corespunde in  baza  cu proprietatea

                                                                                                                   (3’’)

atunci,scazand relatiile (3), (3’’), am obtine relatia

                                       pentru i=1,2,,n,

deci si pentru orice x, de unde, pe baza axiomei , avem

                                   

Biunivocitatea corespondentei (5) ne indreptateste sa numim o pereche de baze corespunzatoare, baze biortogonale. Se mai observa ca perechile de spatii R si  joaca roluri simetrice.

    Daca  sunt baze biortogonale, iar  sunt vectori in R,, atunci functia biliniara are expresia

                                                                                       (6)

Se observa analogia dintre expresia (6) si expresia produsului scalar intr-o baza ortogonala a unui spatiu euclidian; de aceea vom numi functia (f,x) produs scalar generalizat.

    3. Spatii duale

       In perechea de spatii R si , in care este definit un produs scalar generalizat (f,x), poate fi privit ca spatiul dual al spatiului R,adica spatiul formelor liniare din R.In adear, daca se pune,prin definitie:

                                                           (f,x)=f(x),                                                                (7)

cand fixam pe f, aceasta expresie este o functie liniara (forma liniara) de x in R, conform axiomelor  si deci oricarui vector f din ii corespunde o functie liniara in R. La doi vectori diferiti  corespund doua forme liniare diferite, caci

                                            

si daca am avea (oricare este x),atunci

                                         

pentru orice x, de unde (axioma )

                                                   

contrar ipotezei.

    Invers, fiind data o forma liniara in R, t(x), exista in un vector t, unic determinat, astfel ca

                                                                (t,x)=t(x).                                                           (8)

In adevar, fiind data o pereche de baze  in R si si

                                                     

                                                  

vom determina vectorul  prin conditiile

                                                                (9)

adica, explicit, avem

                 

sau

                                                                                       (9’)

Vectorul t este unic determinat din sistemul (9’) prin regula lui Cramer. Astfel am demonsttrat ca corespondenta dintre formele liniare definite in R si elementele din este biunivoca. Aceasta corespondenta este chiar un izomorfim, caci daca

                                           





atunci, conform axiomei, avem

                                              

sau

                                              

adica sumei a doi vectori din ii corespunde suma functiilor liniare corespunzatoare.

    Apoi  conform axiomei , sau

                                                         

adica produsului dintre un scalar si un vector din  ii corespunde produsul dintre acel scalar si functia liniara corespunzatoare vectorului.

    Din cauza simetriei rolului celor doua spatii R si, in definitia functiei  dualul spatiului este spatiul R.

    4. Transformari de baze si transformari de coordonate in R si

      Fie din nou  doua baze biortogonale din R si, deci determinate prin conditiile  ( fiind simbolul lui Kronecker).Consideram o schimbare de baza in R, reprezentata prin

                                   de matrice                                      (10)

    Fie  baza biortogonala bazei . Intre  exista o transformare liniara de matrice M, astfel ca

                                         , de matrice                                          (11)

Vom determina matricea M in functie de matricea L.

    Avem relatia

                                       

care, din cauza biortogonalitatii ambelor perechi de baze, ne da

                                                                                         (12)

    Scrise explicit, pentru h,k=1,2,,n, relatiile (12) devin

                                  

    Dar

                                     

deci relatia precedenta este

                                                                 ML’=E,

de unde

                                                                                                                      (13)

adica M este matricea contragredienta (contravarianta) matricei L.

    Notand cu

                                                     

matricele coordonatelor unui vector  in bazele  respectiv  avem intre aceste coordonate relatia matriciala.

                                                            

Notand cu

                                                    

matricele coordonatelor unui vector , respectiv in bazele , avem relatia

                                                                                                                  (11’)

Dar din (13) rezulta

                                                              

atunci (11’) devine

                                                                                                                        (11’’)

Comparand relatiile (10) cu (10’), apoi (11) cu (11’’), avem concluzia:

    In timp ce in R coordonatele unui vector se schimba contragredient (contravariant) cu schimbarea bazei din R, in, fata de bazele biortogonale corespunzatoare, coordonatele unui vector se schimba cogredient (covariant) cu schimbarea bazei din R.

    Insemnand pe scurt cu e, f bazele din R, apoi cu  bazele biortogonale corespunzatoare in , avem urmatoarea schema a concluziei precedente:

Schimbarea bazei

Schimbarea coordonatelor

                    R

             

                

                   

            

            

Functii multiliniare definite de doua spatii duale.

Definitia tensorilor

    1. Functii multiliniare

      Consideram din nou cele doua spatii R si din paragrafele precedente, pe care le vom numi de acum inainte spatii duale, iar bazele biortogonale corespunzatoare, baze duale. Vom considera  p argumente din R (deci fiecare este un vector al lui R si poate parcurge intreaga multime de vectori din R, independent de celelalte argumente ) si  q argumente din, apoi functia:

                                           

liniara in fiecare argument, adica functia  este scalara si se bucura de proprietatile:

                                                 

                                                            

unde y este unul oarecare dintre argumentele

    Functia  se numeste o functie multiliniara definita pe domeniile R si  (anume de p ori liniara in R si de q ori liniara in ).

    Fie  baze oarecare in R si. Avem:

                                                                                             (1)




Deci,

                                   (2)

Notand cu

                                                                       (3)

                                                                      (2’)

Observam ca functia multiliniara  este determinata de cei  coeficienti  (fiecare indice, atat inferior cat si superior, poate varia de la 1 la n).

    Sa vedem cum se schimba coeficientii unei forme multiliniare la schimbari de baze in R si.

    Consederam schimbarile de baze:

                                     cu matricea                                    (4)

                                   cu matricea .                               (5)

     Avem:

                                                                                                                                           (6)

                                                                    (7)

Astfel, coeficientii formei multiliniare se schimba de p ori cu coeficientii matricei L (dupa indicii inferiori) si de q ori cu coeficientii matricei M (dupa indicii superiori). Daca bazele considerate in R si sunt bazele duale (biortogonale), atunci  si in acest caz se spune ca coeficientii formei multiliniare se schimba de p ori covariant (dupa matricea L) si de q ori contravariant [dupa matricea ]. Coeficientii formei multiliniare constituie un tensor de p ori covariant si de q ori contravariant.

    2. Definitia tensorilor

      Un sistem de  elemente din corpul C, date intr-o baza dintr-un spatiu liniar R peste C, fiecare element al sistemului depinzand de p indici inferiori si q indici superiori, defineste un tensor de p ori covariant si de q ori contravariant, daca la o schimbare a bazei dein R acest sistem de elemente se schimba la fel cu coeficientii unei forme multiliniare cu p argumente din R si q argumente din spatiul dual  al lui R, anume se schimba covariant fata de indicii inferiori si contravariant fata de indicii superiori.

    Astfel, elementele  date in baza  din R definesc un tensor de p ori covariant si de q ori contravariant, daca la o schimbare a bazei (4)

                                                                

cu matricea , iar , elementele sistemului se transforma in elementele

                                                                     (8)

Tensorul astfel definit se numeste de valenta sau de rang p+q. Elementele care definesc tensorul, intr-o baza, se numesc componentele tensorului sau coordonatele tensorului.Tensorii care au acelasi numar de indici, atat jos cat si sus, se numesc tensori de acelasi tip.

    Doi tensori definiti in aceeasi pereche de spatii R si  se numesc egali daca sunt de acelasi tip si au componentele respectiv egale, intr-o pereche de baze biortogonale (deci in orice pereche de baze biortogonale).

    Exemple:

    1)  Tensorul de rang zero se reduce la un singur element constant, fata de schimbarea bazei; acest element se spune ca este invariant la schimbarea bazei. Produsul scalar a doi vectori intr-un spatiu euclidian este un tensor de rang zero.

    2)  Vectori contravarianti si covarianti. Un vector x din spatiul R este determinat in fiecare baza prin coordonatele lui  la schimbarea bazei prin (4), acestea se schimba contravariant

                                                                                                                         (9)

deci vectorii din R sunt tensori de valenta 1,contravarianti; de aceea ii numim vectori contravarianti. Vectorii din spatiul dual al lui Rsunt formele liniare din R, ; acestia sunt tensori de valenta 1, covarianti

                                                                                                                      (10)

De aceea spunem ca elementele lui  sunt vectori covarianti.

    3)  Formele biliniare sunt definite prin coeficientii  intr-o baza  din R; coeficientii  se schimba prin formula

                                                           

la schimbarea bazei. Deci, coeficientii formelor biliniare constituie un exemplu de tensor de valenta 2, de doua ori covariant.

    4)  Transformarile liniare din R sunt definite intr-o baza  prin

                                                             

Cantitatile  constituie un tensor de valenta 2, o data covariant si o ata contravariant, caci la o transformare a bazei avem

                                                          

unde  este matricea transformarii bazei si

    In particular

                                                  

defineste transformarea identica; acesta este simbolul lui Kronecker si vedem ca el este un tensor, care isi pastreaza aceleasi componente in orice baza.

    5)  Constantele de structura ale unei algebre de ordinul n peste un corp C constituie un tensor de valenta 3, de doua ori covariant si o data contravariant.

    6)  Coeficientii unei functii multiliniare, asa cum s-a aratat in paragraful precedent, constituie de asemenea modelul unui tensor de p ori covariant si de q ori contravariant.

  Invers, dat fiind un tensor  se poate determina unic o functie multiliniara, care sa admita drept coeficienti componentele tensorului dat. Vom lua

                                    

si deci

                      

    7)  Fiind dat, intr-o baza, un sistem de p vectori contravarianti  si un sistem q de vectori covarianti  (deci vectorii sunt dati prin coordonatele lor si vectorii covarianti sunt forme liniare)

                                        

                                      

atunci produsul

                                                                                            (11)

constituie un tensor de p ori contravariant si de q ori covariant. In adevar, la o schimbare de baza definita de (4), coordonatele vectorilor  se schimba dupa formulele [obtinute traducand (9), (10) in notatiile de aici]

                                                                   t=1,2,,p,

                                                                                       

                                                                    t=1,2,,q,

                                                                                       

(indicii de sumare). Atunci produsul P se transforma dupa formulele

                     

                                                                                                  (12)

ceea ce demonstreaza ca P este un tensor de valenta p+q, de q ori covariant si de p ori contravariant.

     

                                        

 






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


VECTORI
Siruri de numere reale
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
FUNCTII INTEGRABILE
Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate
FUNCTII DERIVABILE
Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare
Paraboloidul hiperbolic
Matricea Exponentiala
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare