Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Metoda sirului lui Sturm


Metoda sirului lui Sturm




Metoda sirului lui Sturm

Fie ,, a < b. Presupunem ca f este continua si derivabila pe .

Def.1. Se numeste sir Sturm asociat functiei f, un sir de functii f0, f1. .fm, continue pe , care satisfac conditiile:

a.       f0(x) = f(x);

b. pentru

c.daca fI(x) = 0 pentru rezulta ;

d.daca f0(x) = 0 pentru rezulta .

Folosind aceasta definitie putem enunta urmatoarea teorema:

"Daca functia f cu derivata continua pe [a,b] si f(a) = 0, f(b) = 0 admite un sir Sturm f0, f1,.fm, atunci numarul radacinilor reale ale ecuatiei f(x) = 0 in intervalul (a,b) este egal cu diferenta dintre numarul variatiilor de semn ale sirului numeric:

f0(a), f1(a),.fm(a)

si numarul variatiilor de semn ale sirului numeric:

f0(b), f1(b),.fm(b)".

In principiu, teorema ne permite numai sa numaram radacinile reale dintr-un interval al ecuatiei f(x) = 0, totusi se poate realiza si o separare a acestora.

Astfel, cunoscand limita inferioara a si cea superioara b ale radacinii se poate aplica teorema pentru numerele cuprinse intre a si b. In cazul in care functia f este un polinom P cu coeficienti reali, fara radacini multiple, putem apela, pentru aflarea radacinilor reale ale ecuatiei P(x) = 0, la teorema:

"Daca P = P0, P1 = P, .Pm sunt m+1 polinoame in care Pm este o constanta diferita de 0 iar Pi+1 este restul impartirii lui Pi-1 la Pi cu semn schimbat, atunci numarul de radacini reale ale ecuatiei P(x) = 0 este egal cu numarul de variatii de semn in sirurile:

, , .,

si , , ., "

Dem. Trebuie sa demonstram ca sirul de polinoame P0, .Pm indeplineste conditiile de a fi sir Surm.

         Deoarece P(x) nu are radacinile multiple rezulta ca P(x) si PI(x) sunt prime intre ele si c.m.m.d.c. (P(x);PI(x)) = Pm, Pm= const0.

         Determinam c.m.m.d.c, utilizand algoritmul lui Euclid:

         Verificam daca sunt indeplinite conditiile de sir Sturm:

a. P0(x) = P(x) la alegere

b. Pm(x)0     din ipoteza

c. Daca Pi(x) = 0 pentru , din relatia (a3) rezulta:

, adica

         Demonstram ca doua polinoame consecutive nu se pot anula simultan:

Presupunem contrariul: daca Pi(x) = 0 rezulta Pi+1(x) = 0.

Din relatia rezulta Pi+2(x) = 0, Pi+3(x) = 0, Pm(x) = 0 contradictie.

d. Daca P0(x) = 0. Rezulta deoarece P0(x) = PI(x) iar P(x) si PI(x) nu au radacini comune.







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Functia arccosinus
Metode iterative de solutionare a sistemelor de ecuatii liniare
Planul tangent si normala intr-un punct al unei suprafete
Vectori
POLINOAME
Formularea matriciala a metodei deplasarilor
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate
Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala
Polinomul de interpolare Gauss