Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Planul tangent si normala intr-un punct al unei suprafete


Planul tangent si normala intr-un punct al unei suprafete




Planul tangent si normala intr-un punct al unei suprafete

Se defineste planul tangent in punctul al suprafetei Σ ca pozitia limita a planului determinat de punctul si alte doua puncte situate pe suprafata in apropierea lui cand aceste puncte tind catre . Evident ca, dintre toate planele care trec prin , acest plan, daca exista, el aproximeaza cel mai bine suprafata intr-o vecinatate a lui .




Se poate gasi ecuatia acestui plan, in conditiile asumate cu privire la functiile ce definesc suprafata . Vom aborda problema separat, dupa cum suprafata este definita printr-o ecuatie implicita sau prin ecuatii parametrice. Dupa cum am remarcat, reprezentarea explicita se subsumeaza, practic, atat celei implicite cat si celei parametrice.

Cazul cand suprafata este definita printr-o ecuatie implicita

Fie suprafata definita prin ecuatia un punct al suprafetei, adica . Presupunem ca functia F este derivabila intr-o vecinatate V a punctului . Exista atunci o functie definita in vecinatatea V si tinzand catre zero cand punctul P de coordonate carteziene x, y, z tinde catre , astfel incat:

(4.5)

Precizam ca in aceasta relatie inseamna derivata partiala a functiei F in raport cu x, in care, dupa derivare, s-a inlocuit atat x cu , cat si y cu si
z cu :

(4.6)

si analog si .

Consideram vectorul:

, (4.7)

numit, asa cum am mai mentionat, gradientul functiei F in.

In relatia (4.5), punctul este un punct oarecare situat in vecinatatea V. Consideram acum, in plus, ca punctul P se afla pe suprafata si, de asemenea, in V. Aceasta inseamna ca in relatia (4.5) nu numai , dar si . Folosind relatia (4.5), sa calculam limita unghiului dintre vectorul cu sursa in si capatul in P si gradientul functiei F in , cand punctul P, aflat pe suprafata , tinde catre :

Asadar, cand punctul P aflat pe suprafata tinde catre , vectorul devine perpendicular pe gradientul functiei F in punctul . Ca urmare directia normalei planului determinat de si alte doua puncte situate pe suprafata in apropierea lui tinde catre directia vectorului gradient (in ) cand cele doua puncte tind catre .

Ecuatia planului tangent in la suprafata rezulta din faptul ca un vector perpendicular pe acest plan este vectorul :

, (4.8)

in care am notat coordonatele unui punct Q situat in planul tangent.

Daca suprafata este definita de ecuatia explicita , atunci rezulta si deci ecuatia (4.8) devine:

. (4.9)

Cazul cand suprafata este definita prin ecuatii parametrice

Fie suprafata definita prin ecuatiile parametrice:

(4.10)

in care punctul M de coordonate carteziene u si v parcurge un domeniu din planul raportat la doua axe perpendiculare .




Ecuatiile (4.10) pot fi exprimate printr-o singura ecuatie vectoriala:

, (4.11)

in care este vectorul de pozitie al punctului P de pe suprafata avand coordonatele carteziene , iar functia vectoriala este definita de functiile scalare ce apar in relatiile (4.10).

Fie un punct de pe suprafata Σ, al carui vector de pozitie este

,

si presupunem ca functia vectoriala este derivabila intr-o vecinatate V a punctului . Conform definitiilor din capitolul 1, rezulta ca exista o functie vectoriala care tinde catre vectorul nul cand punctul tinde catre , astfel incat este indeplinita egalitatea:

, (4.12)

pentru orice punct din vecinatatea V.

In aceasta relatie vectorii sunt derivatele partiale ale functiei vectoriale in care, dupa derivare, au fost inlocuiti u cu si v cu .

Continuitatea functiei vectoriale inseamna ca, atunci cand tinde catre , punctul corespunzator P de pe tinde catre .

Consideram vectorul si ne propunem, folosind formula (4.12), sa calculam lungimea proiectiei vectorului pe vectorul cand punctul P, aflat pe suprafata , este suficient de aproape de :

unde se alege semnul plus sau minus, astfel incat rezultatul sa fie pozitiv. Pentru ultima egalitate s-a tinut seama ca .

Deoarece tinde catre vectorul nul cand M tinde catre , rezulta ca, atunci cand punctul P, aflat pe suprafata , tinde catre , proiectia vectorului pe vectorul tinde catre vectorul nul. Altfel spus, cand
punctul P, aflat pe suprafata , tinde catre , vectorul tinde sa se aseze in planul perpendicular pe .

In concluzie, planul tangent la suprafata in punctul este planul perpendicular pe , adica planul determinat de vectorii . Ecuatia acestui plan se obtine tinand seama ca, pentru orice punct Q din acest plan, produsul mixt al vectorilor este nul, deci:

, (4.13)

unde am notat coordonatele unui punct Q din planul tangent.

Daca suprafata este definita de ecuatia explicita , atunci considerand parametrizarea:

ecuatia (4.13) devine:

,

adica:

, (4.14)

care este tocmai ecuatia (4.9).







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Formule de calcul aproximativ al integralelor definite - Formule de calcul aproximativ al integralelor definite
FUNCTII INTEGRABILE
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme
Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate
Operatii algebrice cu functii
Aplicatii metode GD
Gometrie analitica (clasa a XI-a)
OPERATII CU FRACTII
Siruri de numere reale