Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» LIMITA SI CONTINUITATE


LIMITA SI CONTINUITATE




LIMITA SI CONTINUITATE

Limita unei functii intr-un punct

            Consideram multimea

            Vom numi interval deschis in multimile de forma:

                       




                        unde a,b

            Prin vecinatate (in ) a unui punct xse intelege orice multime V cu proprietatea ca include un interval deschis ce contine punctul x. In conformitate cu prima sectiune a capitolului precedent vom defini multimile deschise in ca fiind acele multimi ce sunt vecinatati pentru fiecare punct al lor. devine astfel un spatiu topologic numit dreapta reala incheiata iar topologia construita va fi numita topologia dreptei incheiate.

Definitie  Fie si a(punct de acumulare pentru D in ). Se spune ca functia f are limita lin punctul a daca:

            si vom scrie

Observatie

1.      In cazul a,ldefinitia de mai sus este echivalenta cu:

2.      Daca a= definitia devine:

3.      Daca functia f are limita l in punctul a daca si numai daca:

4.      Daca l functia f are limita l in punctul a daca:

5.      Definitia se va putea scrie intr-un mod similar cand asau l

Teorema  (Heine)

Functia are limita lin adaca si numai daca:

   (xn)  

Exemplu  Sa se arate ca nu exista.

Solutie: f(x)=sinx

Alegem:       

Mai alegem       f(yn)=1

Rezulta ca  functia f nu are limita in punctul a=

Definitie   Fie  si a un punct de acumulare pentru A=. Se spune ca functia f are limita la stanga in punctul a egala cu ls daca restrictia lui f la A, , are limita ls in punctul a.

Vom scrie: care uneori va fi notata si f(a-0).

In mod analog se va defini limita la dreapta a unei functii intr-un punct, notata:

Definitie  Fie ,  cu proprietatea ca f are limite laterale in punctul a. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1.        f are limita in punctul a;

            2.     

           Mai mult in acest caz avem:

Exemplu   Pentru ce valori ale lui k functia ,

Are limita in punctul x=3

Solutie:

Propozitie  Fie P si Q doua functii polinomiale. Vom nota cu ak si bk coeficientii termenilor de grad maxim din P respectiv din Q si vom nota cu

Avem:

1.      Daca grad P < grad Q atunci l = 0;

2.      Daca grad P = grad Q atunci l =

3.      Daca grad P > grad Q si akbk>0 atunci l =

4.      Daca grad P > grad Q si akbk<0 atunci l = -

Exemplu Sa se calculeze:        

Solutie:

           

Propozitie

                       

                

           

Exemplu  Sa se calculeze:

                                       

           

                                      

Solutie:

           

           

           

4.Vom nota: x-1=y. Atunci

             Continuitatea functiei de o singura variabila           

Definitie  Fie , . Functia f se numeste continua in punctul a daca:

                

Observatie  Aceasta definitie se poate scrie in urmatoarea forma echivalenta:  

                

Observatie 

1.      Daca  D atunci f este evident continua in a.

2. Daca atunci f este continua in a daca si numai daca

Teorema  (Heine) Fie , . Functia f este continua in a daca si numai daca:

Teorema (Weierstrass) Daca este continua atunci ea este marginita si isi atinge marginile.

Definitie  Fie . Se spune ca f are proprietatea lui Darboux pe  daca printre orice puncte x1<x2 din  si oricare ar fi y situat intre f(x1) si f (x2) exista cel putin un punct xastfel incat f(x)=y.

Teorema   Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Asimptote

Definitie  Fie . Daca astfel incat este egala cu +sau  atunci vom spune ca dreapta x = a este asimptota verticala la stanga pentru f.

In mod analog daca  este egala cu +sau vom spune ca dreapta x=a este asimptota verticala la dreapta pentru f.

Definitie  Fie . Daca si exista , atunci vom spune ca dreapta y=l este asimptota orizontala spre +a lui f. In mod similar daca -si , vom spune ca dreapta y=l este asimptota orizontala spre -pentru f.





Definitie Fie , . Daca exista si atunci dreapta y=mx+n se numeste asimptota oblica spre +.

In mod analog se va defini asimptota oblica spre -.

Exemplu. Sa se determine asimptotele functiei:

Solutie: Notam -x=y si atunci

Vom avea atunci ca dreapta este asimptota orizontala spre -

Apoi

Vom avea atunci ca dreapta x=5 este asimptota verticala la dreapta spre +. In final,

Atunci dreapta y=x+5 este asimptota oblica spre +.

Functii derivabile

Definitie  Fie . Se spune ca functia f este derivabila in punctul x0 daca exista si este definita limita

Aceasta limita se noteaza si este denumita derivata functiei f in punctul x0.

Observatie Uneori se utilizeaza notatiile: si atunci

.

Daca y=f(x) vom folosi si notatiile:

.

Exemplu 

            f(x)=x2

                .

            Astfel derivata functiei f va fi functia .

Tabel de derivare

1. , C constanta reala;

2. constanta reala cel putin

3.

In particular

 4.

In particular

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,x

11.     ,     x

12.    ,  x

Observatie   Formula  in cazul in care a = 1 ne va da =1 valabila pentru x.

Formula  poate fi folosita la derivarea unor radicali, daca mai notam faptul ca =. Spre exemplu : ====.

Reguli de derivare

Teorema   Daca functiile f,g :I I interval din sunt derivabile pe I atunci functiile f+g, f-g, f,g  sunt derivabile pe I si:

1.

2.

3.

4.

Observatie   Un caz particular al formulei (3) este cazul in care g este o functie constanta g = C. Atunci vom avea

Exemplu

1.

2.

3.

4.

5.

Derivarea functiilor compuse

            Teorema  Daca functia u : IJ   este derivabila pe   I  si functia f : J  este derivabila pe J atunci functia f  este derivabila pe I si

                                   .

Exemplu   

1.

2.

3.

4.

Diferentiala unei functii

Definitie  Fie  si  Daca f este derivabila  in atunci vom numi diferentiala functiei f in  aplicatia liniara notata    definita prin:

                             

                              

Exemplu  Fie    si .

Atunci  si altfel

Observatie  Convenim ca diferentiala functiei f in punctul x sa o scriem ca produsul dintre aplicatia dx (diferentiala aplicatiei identitate) si numarul real . Astfel:

                    df=(x)dx

ceea ce justifica intr-un fel si notatia:

                                             

Exemplu  1.

   2.

Teoreme asupra functiilor derivabile

Teorema (Teorema lui Rolle) Daca f  :R este continua pe, devariabila

pe  si f =f  atunci  c  astfel incat f' =0

 Exemplu  Se poate aplica teorema lui Rolle functiei  pe intervalul

Solutie: Functia f  nu este definita pentru x= , valori apartinand segmentului  . Deci cum f nu este definita pe  nu vom putea aplica teorema lui Rolle pe




acest interval.

Dar vom putea aplica aplica teorema lui Rolle  pe intervalul  pe care f este

definita , continua, derivabila si f=f=.

Deci c  : =0 .

Teorema ( Teorema cresterilor finite a lui Lagrange)

Daca f : R este continua pe  si derivabila pe  atunci c  astfel

incat.

                                    

                                          f - f  

Colorar  ( Consecinte ale teoremei lui Lagrange)

1.      Singurele functii cu derivata nula pe un interval sunt constantele ;

2.      Daca f (f ) atunci f este monoton crescatoare (respectiv monoton descarcatoare) pe intervalul I;

3.      Daca f este continua pe intervalul I, derivabila pe I-si f atunci = f.

Exemplu  Se poate aplica teorema lui Lagrange functiei :

f =

pe intervalul?

In caz afirmativ determinati punctul c care apare in aceasta formula.

Solutie: Evident f este continua pe [1,2). Apoi

;si  astfel f este continua si in punctul 2 pe

Evident f derivabila pe [1,2)si :

Observam ca

Aplicand o consecinta a teoremei lui Lagrange se obtine ca f este derivabila in si .

Avem astfel ca f este derivabila pe intervalul (1,3). Vom putea aplica atunci teorema lui Lagrange si obtinem ca exista astfel incat :

cum insa daca vom avea ca . In acest caz si astfel obtinem ca

Exemplul  Sa se demonstreze inegalitatile :

1.

2.

Solutie 1 Consideram functia :

Observam ca :

pentru x >0, ceea ce arata ca functia f este monoton crescatoare pe intervalul [0,∞) deci  Cum insa f(0)=0 obtinem ceea ce demonstreaza inegalitatea.

2. Fie functia

Observam ca :

Rezulta ca : si pentru si pentru ceea ce inseamna ca f este crescatoare pe intervalul (0,1) si descrescatoare pe  si in consecinta f(1) =0 este valoarea maxima a functiei. Prin urmare adica ceea ce incheie demonstratia.

 

Teorema  (Teorema de medie a lui Cauchy)

Fie continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) si . Atunci astfel incat:

Exemplu  Sa se determine valoarea c care intervine in teorema lui Cauchy in cazul functiilor: definite pe intervalul .

Solutie: Functiile date verifica conditiile din teorema lui Cauchy si deci  astfel incat:

Teorema  ( regulile lui L'Hopital)

Fie derivabile, cu cu proprietatea ca

Atunci

                                                              

1.      Dacaatunci  =;

2.      Daca atunci  =.

Exemplu  1)  

                           2) 

Derivate de ordin superior

Definitie  Fie  : D  si   D D'. Daca  V   astfel incat derivabila pe V si  este derivabila  atunci vom spune ca functia este derivabila de doua ori in . In acest caz derivata lui   in  va fi notata  sau  si este numita derivata de ordinul doi a functiei  in punctul

Prin inductie se defineste derivata de ordin n.

Exemplu  Sa se calculeze derivatele de ordin n pentru functia

Solutie:

Se verifica prin inductie ca:

Definitie  O functie (I interval) se numeste convexa pe I daca  avem

Functia f se numeste concava pe intervalul I daca functia -f este convexa pe I.

Teorema . Fie  derivabila de doua ori pe I. Atunci:

  1. f este convexa daca si numai daca
  2. f este concava daca si numai daca

Definitie  Fie continua . Un punct se numeste punct de inflexiune pentru f daca astfel incat f sa fie convexa pe (a,x0) si concava pe (x0,b) sau invers.







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Formulele lui Frenét
Cilindrul cu generatoarele paralele cu una din axele de coordonate
Valori extreme ale unei functii
Elipsoidul
Functia arccotangenta
Ecuatia caracteristica
Compunerea functiilor
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Curburile principale, liniile de curbura; clasificarea punctelor de pe suprafata
Gometrie analitica (clasa a XI-a)