Functii convexe, concave

Functii convexe, concave. Consideram functia f: I R unde I - interval. Atunci are loc urmatoarea:

Definitie: a) despre functia f spunem ca este convexa pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, q₁, q₂≥0 astfel incat q₁+ q₂=1 avem: f(q₁ x₁+ q₂ x₂) ≤ q₁ f(x₁) + q₂ f(x₂) (1)

b) despre functia f spunem ca este concava pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, q₁, q₂≥0 astfel incat q₁+ q₂=1 avem: f(q₁ x₁+ q₂ x₂) ≥ q₁ f(x₁) + q₂ f(x₂) (2)

Observatie: Daca in inegalitatile (1) si (2) avem inegalitate stricta se spune ca functia f este strict convexa respectiv strict concava.

Notiunea de functie convexa respectiv concava a fost introdusa J. Jensen care a pornit de la o relatie mai particulara decat (1) si(2), anume:

a) despre functia f spunem ca este convexa pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, x₁≠x₂

b) despre functia f spunem ca este convcava pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, x₁≠x₂

Din punct de vedere grafic pentru o functie convexa avem:

Exemplu: f: R R f(x) = x² este o functie convexa

Din punct de vedere grafic pentru o functie concava avem:

Exemplu: f: R R f(x) = - x² este o functie concava.

Observatie: Functia de gradul II-lea de forma f(x)=ax²+bx+c unde f: R R este:

a.     convexa pe R daca a > 0

b.     concava pe R daca a < 0