Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Ecuatii de recurenta liniara de ordin doi


Ecuatii de recurenta liniara de ordin doi




Ecuatii de recurenta liniara de ordin doi

Forma generala a acestor ecuatii este:

.

Solutia generala a ecuatiei omogene asociate depinde de solutiiile r1 si r2 ale ecuatiei caracteristice asociate:

r2 -ar - b=0.

(1)Daca ecuatia caracteristica are doua radacini reale distincte r1 si r2 atunci solutia ecuatiei omogene este:



vn=

(2) Daca ecuatia caracteristica are o radacina reala dubla r =a/2 atunci solutia ecuatiei omogene este :

vn=

(3) Daca ecuatia caracteristica are radacini complexe atunci solutia ecuatiei omogene este :

vn= .

Observatie Solutia particulara un* pentru ecuatia neomogena se determina in functie de forma functiei g. Spre exemplu:

  1. Daca g este un polinom de gradul k atunci vom cauta solutia particulara un* sub forma unui polinom de gradul k daca 1 nu este radacina a ecuatiei caracteristice.

Daca 1 este radacina simpla a ecuatiei caracteristice vom pune un*=nQk(n), unde Qk(n) este un polinom de grad k.

Daca 1 este radacina dubla a ecuatiei caracteristice vom pune un*=n2Qk(n), unde Qk(n) este un polinom de grad k.

  1. Mai general daca g(n)=rnPk(n) vom pune un*=nprpQk(n), unde p este ordinal de multiplicitate a lui r in ecuatia caracteristica (p=0 daca r nu este solutie a ecuatiei caracteristice) iar Q este polinom de acelasi grad ca si P.

Exemplu Determinati solutia reala pentru urmatoarele ecuatii de recurenta liniara de ordin doi:

  1. 2 xn - 3 xn-1+ xn-2= 2 , x0 = 3, x1 = 3;
  2. xn - 2 xn-1+2 xn-2= 1 , x0 = 2, x1 = 3;
  3. xn - 4xn-1+4 xn-2= 2n , x0 = 0, x1 = 3;

Solutie: 1)Scriem ecuatia caracteristica asociata:

2r2 -3r+1=0

Care are radacinile r1=1, r2=1/2 si deci solutia ecuatiei omogene este:

vn=

Cum g=2 este polinom de grad 0 si 1 este solutie pentru ecuatia caracteristica, in baza observatiei precedente, vom cauta o solutie particulara pentru ecuatia neomogena de forma un*=nA.




Obtinem:

2nA-3(n-1)A+(n-2)A=2

Care prin identificare, conduce la A=2 si deci un*=2n. Atunci avem xn=C1+C2(1/2)n +2n cu conditiile initiale x0=C1+C2=3 , x1=C1+C2(1/2)n +2=3. Obtinem C1=-1, C2=4, deci

xn= -1 +4 (1/2)n + 2n=22-n +2n - 1.

2) Avem ecuatia caracteristica r2-2r+2=0 cu radacinile

de unde solutia ecuatiei omogene va fi

Vom cauta solutia particulara pentru ecuatia neomogena de forma un* =A. Obtinem: A-2A+2A=1, deci A=1 si astfel un*=1, de unde

cu conditiile initiale

x0=C1+1=2, x1=C1+C2+1=3.

Se obtine C1=1, C2=1, deci

3) Scriem ecuatia caracteristica r2- 4r +4= 0, care are pe 2 radacina dubla si deci solutia ecuatiei omogene este

vn=(C1+C2 n) 2n, C1, C2 .

Sa notam ca suntem in cazul al doilea din observatia precedenta (g(n)=rnPk(n) cu r=2 radacina dubla pentru ecuatia caracteristica).

Vom cauta atunci o solutie particulara de forma un*=n22nA. Prin inlocuire si identificare se obtine A=1/2, deci un*=2n-1 n2 si astfel

xn==(C1+C2 n) 2n+2n-1n2

cu conditiile initiale x0=C1=0, x1=2(C1+C2)+1=3, care conduc la C1=0, C2=1, solutia ecuatiei va fi:






Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Caracterizarea radacinilor multiple pentru o functie polinomiala
Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare
Radacina patrata
Metoda aproximatiilor succesive
LIMITA SI CONTINUITATE
Calculul probabilitatilor conditionate
Functii monotone
Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme
Matricea Exponentiala
Functii bijective