Ecuatii de recurenta liniara de ordin doi

Ecuatii de recurenta liniara de ordin doi

Forma generala a acestor ecuatii este:

.

Solutia generala a ecuatiei omogene asociate depinde de solutiiile r₁ si r₂ ale ecuatiei caracteristice asociate:

r² -ar - b=0.

(1)Daca ecuatia caracteristica are doua radacini reale distincte r₁ si r₂ atunci solutia ecuatiei omogene este:

v_n=

(2) Daca ecuatia caracteristica are o radacina reala dubla r =a/2 atunci solutia ecuatiei omogene este :

v_n=

(3) Daca ecuatia caracteristica are radacini complexe atunci solutia ecuatiei omogene este :

v_n=

Observatie Solutia particulara u_n* pentru ecuatia neomogena se determina in functie de forma functiei g. Spre exemplu:

1. Daca g este un polinom de gradul k atunci vom cauta solutia particulara u_n* sub forma unui polinom de gradul k daca 1 nu este radacina a ecuatiei caracteristice.

Daca 1 este radacina simpla a ecuatiei caracteristice vom pune u_n*=nQ_k(n), unde Q_k(n) este un polinom de grad k.

Daca 1 este radacina dubla a ecuatiei caracteristice vom pune u_n*=n²Q_k(n), unde Q_k(n) este un polinom de grad k.

2. Mai general daca g(n)=rⁿP_k(n) vom pune u_n*=n^pr^pQ_k(n), unde p este ordinal de multiplicitate a lui r in ecuatia caracteristica (p=0 daca r nu este solutie a ecuatiei caracteristice) iar Q este polinom de acelasi grad ca si P.

Exemplu Determinati solutia reala pentru urmatoarele ecuatii de recurenta liniara de ordin doi:

1. 2 x_n - 3 x_n-1+ x_n-2= 2 , x₀ = 3, x₁ = 3;
2. x_n - 2 x_n-1+2 x_n-2= 1 , x₀ = 2, x₁ = 3;
3. x_n - 4x_n-1+4 x_n-2= 2ⁿ , x₀ = 0, x₁ = 3;

Solutie: 1)Scriem ecuatia caracteristica asociata:

2r² -3r+1=0

Care are radacinile r₁=1, r₂=1/2 si deci solutia ecuatiei omogene este:

v_n=

Cum g=2 este polinom de grad 0 si 1 este solutie pentru ecuatia caracteristica, in baza observatiei precedente, vom cauta o solutie particulara pentru ecuatia neomogena de forma u_n*=nA.

Obtinem:

2nA-3(n-1)A+(n-2)A=2

Care prin identificare, conduce la A=2 si deci u_n*=2n. Atunci avem x_n=C₁+C₂(1/2)ⁿ +2n cu conditiile initiale x₀=C₁+C₂=3 , x₁=C₁+C₂(1/2)ⁿ +2=3. Obtinem C₁=-1, C₂=4, deci

x_n= -1 +4 (1/2)ⁿ + 2n=2^2-n +2n - 1.

2) Avem ecuatia caracteristica r²-2r+2=0 cu radacinile

de unde solutia ecuatiei omogene va fi

Vom cauta solutia particulara pentru ecuatia neomogena de forma u_n* =A. Obtinem: A-2A+2A=1, deci A=1 si astfel u_n*=1, de unde

cu conditiile initiale

x₀=C₁+1=2, x₁=C₁+C₂+1=3.

Se obtine C₁=1, C₂=1, deci

3) Scriem ecuatia caracteristica r²- 4r +4= 0, care are pe 2 radacina dubla si deci solutia ecuatiei omogene este

v_n=(C₁+C₂ n) 2ⁿ, C_1, C₂ .

Sa notam ca suntem in cazul al doilea din observatia precedenta (g(n)=rⁿP_k(n) cu r=2 radacina dubla pentru ecuatia caracteristica).

Vom cauta atunci o solutie particulara de forma u_n*=n²2ⁿA. Prin inlocuire si identificare se obtine A=1/2, deci u_n*=2^n-1 n² si astfel

x_n==(C₁+C₂ n) 2ⁿ+2^n-1n²

cu conditiile initiale x₀=C₁=0, x₁=2(C₁+C₂)+1=3, care conduc la C₁=0, C₂=1, solutia ecuatiei va fi: