Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare

Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare

Un sistem de ecuatii neliniare poate fi pus sub forma:

(20)

unde functiile reale f₁, f₂, .,f_n depind de variabilele reale x₁, x₂,.x_n.

Pentru determinarea unei solutii numerice a sistemului, aflata in vecinatatea solutiei exacte, cu o precizie data, se folosesc metode iterative, metode de tip Newton Raphson sau metoda gradientului.

1.Metoda Newton-Raphson

Fie un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute:

(21)

Consideram ca functiile f si g sunt derivabile partial intr-o vecinatate a punctului (x₀, y₀) si valorile initiale sunt separate prin incercari sau prin metode grafice.

Se inlocuiesc suprafetele f(x,y) = 0 si g(x,y) = 0 cu planele lor tangente in vecinatatea punctuluiinitial si se ia ca aproximare urmatoare punctul in care dreapta de intersectie a celor doua plane taie planul z = 0.

Ecuatiile planelor tangente in punctul (x_k, y_k) la suprafetele z = f(x,y) si z = g(x,y) sunt:

(22)

Pentru z = 0 si x = x_k+1 rezulta algoritmul iterativ al lui Newton:

(23)

sau:

(24)

unde: (25)