Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Aritmetica in inele


Aritmetica in inele




Aritmetica in inele

Fie R un domeniu de integritate.

Definitia 1. Spunem ca un element a R divide un element b R (sau ca b este un multiplu al lui a) si notam acest fapt prin a / b, daca exista un element c R astfel incat b = a c. Daca a / b si b 0, atunci spunem ca a este un divizor al lui b.




Observatie. Relatia de divizibilitate ' / 'este o relatie de preordine pe R. Alte proprietati notabile ale acesteia sunt urmatoarele:

                    Pentru orice a R, au loc a / a, a / 0 si 1 / a.

                    Pentru orice a, b, c, x, y R astfel incat a / b si a / c, rezulta a / (bx + cy).

Definitia 2. Spunem ca elementele a, b R sunt asociate in divizibilitate

si notam acest fapt prin a ~ b, daca a / b si b / a.

Observatie. Relatia de asociere in divizibilitate ' ~ ' este o relatie de echivalenta pe R. Clasa de echivalenta modulo ' ~ ' a unui element a R este a = .

Propozitia 1. Fie a, b R . Atunci au loc :

                    a / b , daca si numai daca bR aR.

                    a ~ b , daca si numai daca aR = bR.

Propozitia 2. Pentru un element a R, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

                    a ~ 1;

                    a U(R);

                    aR = R;

                    a / x, oricare ar fi x R.

Definitia 3. Fie n N si a1 , a2 , , an R..

                    Un element d R se numeste divizor comun al elementelor ai , i = , daca d / ai oricare ar fi i = . Daca , in plus , pentru orice divizor comun d'al elementelor ai, i =, avem d'/ d, atunci spunem ca d este un cel mai mare divizor comun al elementelor ai, i =n,1n,1n,1n,1.

                    Un element m R se numeste multiplu comun al elementelor ai, i = daca ai / m , oricare ar fi i =. Daca, in plus, pentru orice multiplu comun m'al elementelor ai , i = , avem m / m', atunci spunem ca m este un cel mai mic multiplu comun al elementelor ai, i = . n,1, n,1n,1n,1

Observatie. Daca pentru elementele a1 , a2 , ,an R exista un cel mai

mare divizor comun d R ( respectiv cel mai mic multiplu comun m R ) , atunci acesta este unic pana la o asociere in divizibilitate. Notam d = (a1 , a2 , ,an) sau d = c.m.m.d.c. (respectiv m = [a1, a2, , an] sau m = c.m.m.m.c.).

2

Propozitia 3. Relativ la relatia de ordine indusa de divizibilitate, multimea factor R / ~ este o latice distributiva . Pentru doua elemente , R / ^a^b/~, avem inf = (a, b) si sup = [a, b]. ^a^b^a^b

Observatie. Doua elemente a', b' R se numesc relativ prime (sau prime intre ele ) daca (a', b') = 1. Daca doua elemente a, b R* admit cel mai mare divizor comun d R, atunci a, b se scriu sub forma a = da' , b = db' , cu a', b' R relativ prime.

Propozitia 4. Daca in domeniul de integritate R orice doua elemente admit un cel mai mare divizor comun, atunci au loc:

                    Orice doua elemente ale lui R admit un cel mai mic multiplu comun.

                    Pentru orice a, b R , avem ab ~ (a, b)[a, b].





Definitia 4. Fie p R* U(R).

                    Elementul p se numeste ireductibil (in R) daca nu are divizori proprii , adica , pentru orice d R astfel incat d / p, rezulta d ~ 1 sau d ~ p.

                    Elementul p se numeste prim (in R) daca, pentru orice a, b R astfel incat p / ab, rezulta p / a sau p / b.

Propozitia 5. Orice element al lui R asociat in divizibilitate cu un

element ireductibil (respectiv prim) p R este ireductibil (respectiv prim).

Propozitia 6. Fie p R . Atunci au loc: b 3 4

                    p este ireductibil in R, daca si numai daca pR este element maximal in multimea idealelor principale proprii ale lui R.

                    p este prim in R, daca si numai daca pR este ideal prim al lui R.

Propozitia 7. Orice element prim p R este ireductibil in R.

Observatie. Reciproca propozitiei anterioare nu este, in general,

adevarata.

Propozitia 8. Daca in domeniul de integritate R orice doua elemente

admit un cel mai mare divizor comun, atunci orice element ireductibil p R este prim in R.

Definitia 5. Domeniul de integritate R se numeste inel euclidian daca exista o aplicatie f : R*→N care satisface urmatoarele proprietati:

                    Pentru orice a, b R* cu a / b, rezulta ϕ(a) ≤ ϕ(b).

                    Pentru orice a, b R cu b ≠ 0 exista q, r R astfel incat a = bq + + r si r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b).

Propozitia 9. Daca R este inel euclidian, atunci orice doua elemente

a, b R admit un cel mai mare divizor comun.

Corolar. Intr-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.

Definitia 6. Domeniul de integritate R se numeste inel principal daca orice ideal al sau este principal, adica, pentru orice ideal I al lui R , exista a R astfel incat I = aR.

Propozitia 10. Orice inel euclidian este principal.

Propozitia 11. Daca R este inel principal si a, b R. atunci au loc:

                    Elementul d R este un cel mai mare divizor comun al lui a si b, daca si numai daca dR = aR + bR. In particular, exista un cel mai mare divizor comun d al lui a si b si exista u, v R astfel incat d = = au + bv.

                    Elementul m R este un cel mai mic multiplu comun al lui a si b , daca si numai daca mR = aR bR. In particular , exista un cel mai mic multiplu comun m al lui a si b.

Corolar 1. Intr-un inel principal orice element ireductibil este prim.

Corolar 2. Daca R este un inel principal, atunci au loc :

                    Orice ideal prim nenul al lui R este ideal maximal in R.

                    Un element p R este ireductibil in R, daca si numai daca pR este ideal maximal in R.

Propozitia 12. Daca R este inel principal, atunci orice sir ascendent de

ideale ale lui R este stationar, adica, oricare ar fi idealele (In)nN ale lui R astfel incat: I0 I1 In , exista n0 N cu proprietatea ca , pentru 00ninII=+orice i N.




5

Corolar. Orice inel principal este noetherian.

Propozitia 13. Intr-un inel principal orice element nenul si neinversabil se descompune in produs finit de elemente prime.

Definitia 7. Domeniul de integritate R se numeste inel factorial, daca orice element nenul si neinversabil al sau se descompune intr-un produs finit de elemente prime.

Observatie. Orice inel principal este factorial.

Propozitia 14. Daca R este inel factorial, atunci descompunerea unui element nenul si neinversabil a R in produs finit de elemente prime este unica pana la ordinea factorilor si la o asociere a lor in divizibilitate, adica, daca:

unde pi, pj' sunt elemente prime (in R), i = n,1, j = m,1, atunci m = n si exista σ Sn astfel incat pi' pσ(i), oricare ar fi i = n,1.

Propozitia 15. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

                    R este inel factorial .

                    Orice element nenul si neinversabil al lui R se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile si orice element ireductibil este prim .

                    Orice element nenul si neinversabil al lui R se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile si o astfel de descompunere

6

este unica pana la ordinea factorilor si la o asociere a lor in divizibilitate.

iv) Orice element nenul si neinversabil al lui R se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile si orice doua elemente ale lui R admit un cel mai mare divizor comun .

v) Orice ideal prim nenul al lui R contine un element prim.

vi) Orice sir ascendent de ideale principale ale lui R este stationar si intersectia oricaror doua ideale principale ale lui R este un ideal principal.

Corolar 1. Intr-un inel factorial orice doua elemente admit un cel mai mare divizor comun si un cel mai mic multiplu comun.

Corolar 2. Intr-un inel factorial orice element ireductibil este prim.

Propozitia 16. Daca R este inel factorial, iar elementele a, bi R , i =

=n,1 au proprietatea ca a si bi sunt relativ prime, i = n,1, atunci elementele a si b1b2bn sunt relativ prime.

Probleme

1. Fie R un domeniu de integritate si a, b R* doua elemente ce admit un cel mai mare divizor comun d. Aratati ca, daca pentru un element c R exista un

7 8

cel mai mare divizor comun ρ al elementelor ac si bc, atunci ρ este asociat in divizibilitate cu produsul dc.

Solutie. Fie a', b' R astfel incat a = da', b = db'si (a',b') = 1. Din

d / a, respectiv d / b, rezulta dc / ac, respectiv dc / bc. Deducem dc / ρ , deci exista u R cu proprietatea ca ρ = dcu. Din ρ / ac, respectiv ρ / bc, obtinem existenta a doua elemente a1, b1 R astfel incat ac = ρa1, respectiv bc = ρb1. Rezulta da'c = =dcua1 si db' = dcub1, deci a' = ua1 si b' = ub1. Atunci u / a' si u / b', de unde, tinand cont ca a' si b' sunt relativ prime, obtinem u / 1, adica u ~ 1. In concluzie, avem ρ ~ dc.

2. Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea ca orice doua elemente

ale sale admit un cel mai mare divizor comun. Aratati ca, daca elementele a, b, c R satisfac a / bc si (a,b) = 1, atunci a / c.

Solutie. Cum a / ac si a / bc, rezulta ca a / (ac,bc). Conform problemei

anterioare, avem ca (ab, bc) = c, deci a / c.

3. Aratati ca, intr-un domeniu de integritate infinit, multimea elementelor nenule si neinversabile este finita.

Solutie. Fie R un domeniu de integritate infinit si R'= R* U(R). Daca,

prin absurd, multimea R' este finita, atunci multimea U(R) este infinita. Pe de alta parte, notand S(R') grupul permutarilor multimii R', avem ca aplicatia:

f : U(R)→ S(R'),

f(u)(a) = ua, oricare ar fi u U(R) si a R',

este injectiva, deci cardU(R) ≤ cardS(R') = n!, unde n = cardR'; contradictie. In concluzie, R' este infinita.







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Definitii, exemple. Legatura cu H
MULTIMEA NUMERELOR IRATIONALE
Repartitii continue clasice
Inmultirea numerelor naturale de la 0 100
Masurarea unghiurilor
Calculul cu diferente finite
Metoda tangentelor (Newton)
Forme ale ecuatiei dreptei in plan
Legea numerelor mari
Functii booleene - modalitati de reprezentare a unei functii