SOLICITARI COMPUSE

SOLICITARI COMPUSE

In practica se intalnesc in cele mai multe cazuri , corpuri , in a caror sectiuni transversale iau nastere doua sau mai multe eforturi simultan . Se spune ca in acest caz solicitarea este compusa .In cazul solicitarilor compuse , se pune problema stabilirii unei tensiuni echivalente necesare calculului de rezistenta la aceasta solicitare .Pentru aceasta , se intalnesc doua situatii distincte :

- Situatia in care tensiunile corespunzatoare eforturilor sunt de acelasi fel ( numai tensiuni normale sau numai tensiuni tangentiale ) . In acest caz se procedeaza la adunarea algebrica a tensiunilor pentru calculul tensiunii echivalente .

-In cazul in care , in sectiunea transversala a corpului apar eforturi ce produc tensiuni normale si tangentiale . In acest caz se utilizeaza pentru calculul tensiunii echivalente, una din teoriile de rezistenta enuntate anterior .

Cele mai intalnite solicitari sunt :

n   - incovoiere cu rasucire ;

n   -incovoiere oblica ;

n   -intindere / compresiune excentrica ;

n   -forfecare cu rasucire .

Prima solicitare produce tensiuni diferite ( normale si tangentiale) , iar ultimele trei solicitari compuse produc tensiuni de acelasi fel .

1 INCOVOIERE CU RASUCIRE

CALCULUL ARBORILOR DE SECTIUNE CIRCULARA

In cazul solicitarii de incovoiere cu rasucire , in sectiunea transversala a corpului apar atat tensiuni normale σ cat si tensiuni tangentiale τ .

Un arbore ( sau ax ) este solicitat la incovoiere cu rasucire , atunci cand , torsorul de reducere al fortelor exterioare , in centrul de greutate al sectiunii transversale este format dintr-o forta taietoare si un moment de torsiune (fig.9.1) :

( 9. 13 )

Schematic, precum si diaagramele de eforturi ce se produc in bara incastrata sunt prezentate in figura

Forta laterala F produce moment incovoietor , care creaza in sectiunea transversala tensiune normala σ , iar momentul de torsiune produce tensiune tangentiala τ a caror expresii sunt cunoscute din capitilele anterioare :

(9 . 14 )

Inlocuind formulele ( 9. 14 ) in tensiunile echivalente date de relatiile ( 9 .12 ), exemplificand cu teoria I-a de rezistenta se obtine :

sau:

( 9. 15 )

Arborele se dimensioneaza ca si cand ar fi solicitat la incovoiere cu momentul incovoietor M_echI .Prin analogie , la celelalte teorii de rezistenta se obtin formulele :

(9 . 16 )

2.INCOVOIEREA OBLICA

In cazul incovoierii studiate la capitolul anterior s-a considerat sistemul de forte ce solicita bara la incovoiere, situat intr-un plan vertical ce continea si axa principala de inertie a sectiunii transversale a barei . Acest tip de incovoiere este o incovoiere dreapta , ea numindu-se simplu , incovoiere.

In practica exista situatii in care sistemul de forte exterior ce actioneaza asupra barei se gaseste intr-un plan ce face unghiul cu axa principala de inertie a sectiunii transversale. In acest caz , incovoierea este oblica .

Planul fortelor contine si axa barei (figura 9.3). Momentul rezultant este dirijat perpendicular pe planul fortelor . Daca unghiul pe care il face planul fortelor cu axa Oy ( axa pricnipala de inertie ) este , momentul incovoietor se va descompune dupa axele principale de inertie astfel :

(9 . 17 )

astfel incat :

( 9 . 18)

RELATII INTRE TENSIUNI Si tensiuni SECTIONALE

Daca se considera separat cele doua incovoieri , dupa axa Oy produsa de M_y , dupa Oz , produsa de M_z , ( figura 9. 4 ) , fiecare solicitare in parte dezvolta tensiuni normale , a caror variatie este cunoscuta de la incovoierea simpla .In fiecare punct al sectiunii tensiunea totala se va obtine conform principiului suprapunerii efectelor ( adunand algebric tensiunile

σ corespunzatoare fiecarei solicitari ).

( 9. 19 )

Deoarece : ( 9 . 20 )

Pentru punctul P( z , y ) tensiunile sunt ( figura 9. 4 ) :

(9 . 21 )

Deci : (9 . 22 )

sau intr-un punct oarecare ( generalizand ):

(9 .23 )

Eforturile unitare maxime se obtin in punctele in care acestea se vor aduna ( sunt de acelasi semn ) : (9 . 24 )

AXA NEUTRA

Axa neutra este locul geometric al punctelor din planul sectiunii transversale , pentru care ε_x =0 , deci tensiunile normale σ_x = 0 .

Fie un punct P( z , y ) , apartinand axei neutre . In acest punct σ_x = 0 , deci :

( 9. 25 )

Expresia (9 . 25 ) reprezinta ecuatia unei drepte ce trece prin originea sistemului de axe , deci axa neutra trece prin centrul de greutate al sectiunii transversale . Unghiul pe care axa neutra il face cu axa Oz se noteaza cu j ( figura 9. 5) :

( 9 . 26 )

Dar :

( 9 . 27 )

La figurile simetrice , momentele de inertie geometrice axiale sunt egale , deci axa neutra coincide cu suportul vectorului moment incovoietor , iar cand acestea sunt diferite , axa neutra si suportul vectorului moment incovoietor se gasesc in acelasi cadran , axa neutra aflandu-se intre suportul vectorului moment incovoietor si axa centrala principala de minim (axa fata de care momentul de inertie geometric axial este minim ).

ASPECTE DE CALCUL LA INCOVOIERE OBLICA

Calculul la incovoiere oblica presupune determinarea tensiunii echivalente :

(9 . 28 )

Tinand cont de relatiile ( 9 . 17 ) :

(9 . 29 )

Se noteaza: ( 9. 30 )

coeficient ce depinde de forma sectiunii transversale a barei .

Pentru patrat si cerc , K_W=1 , pentru profile laminate in forma de I , K_W= 7,3 . , 9,4 , iar pentru cele in forma de U, K_W=4,2, .,7,5.

DIMENSIONAREA

Dimensionarea consta din alegerea dimensiunilor unei sectiuni de forma data , astfel incat , tensiunea normala in punctul cel mai solicitat sa nu depaseasca valoarea rezistentei admisibile . Cunoscand valoarea raportului K_W,

- se determina : ( 9. 31 )

-se calculeaza valoarea coeficientului K_{W, ef} , pentru sectiunea determinata la punctul anterior , cu care se efectueaza verificarea :

( 9. 32 )

-calculul momentului capabil :

( 9. 33 )

INTINDEREA / COMPRESIUNEA EXCENTRICA

Un element de rezistenta este solicitat la intindere sau compresiune excentrica , daca forta axiala nu actioneaza in centrul de greutate al sectiunii transversale , deci torsorul de reducere al fortelor exterioare in centrul de greutate al sectiunii transversale este format dintr-o forta axiala si un moment incovoietor ( figura 9.6 )

Exista doua situatii distincte :

punctul de aplicatie al fortei axiale se afla pe una din principalele axe de inertie (figura 9.6 ). Reducand forta in centrul de greutate al sectiunii transversale , rezulta o forta axiala si un moment incovoietor :

( 9. 34 )

Problema se trateaza folosind principiul suprapunerii efectelor :

n   forta axiala produce tensiuni normale uniform distribuite :

n   momentul incovoietor produce tensiuni normale, ce se pot calcula cu formula lui Navier:

( 9. 35 )

Adunand cele doua efecte rezulta:

(9 . 36 )

Sau tinand cont ca : ,

( 9. 37 )

AXA NEUTRA

Axa neutra este locul geometric al punctelor din sectiunea transversala pentru care ε_x=0 , deci σ_x =0 . Ecuatia axei neutre se va obtine egaland cu 0 , expresia ( 9. 37 )

( 9. 38 )

ceea ce reprezinta ecuatia unei drepte, paralele cu Oz , in sens opus punctului de aplicatie al fortei fata de Oz .

- punctul de aplicatie al fortei P este de coordonate ( z_o , y_o) ( figura 9.7 )

Efectuand reducerea sistemului de forte ce actioneaza asupra corpului , in centrul de greutate al sectiunii transversale , torsorul de reducere va fi format dintr-o forta axiala N=F , si doua momente incovoietoare :

( 9. 39 )

Efectul maxim se obtine intr-un punct in care toate tensiunile normale produse de cele trei eforturi sunt de acelasi sens , de intindere ( + ) sau de compresiune ( - ) ( figura9. 8):

( 9 . 40 )

sau inlocuind momentele de inertie prin produsele dintre arie si patratul razei de giratie se obtine :

( 9 .41 )

AXA NEUTRA

Ecuatia axei neutre se obtine anuland σ_x din relatia (9. 41):

( 9 . 42)

ceea ce reprezinta ecuatia unei drepte , a carei intersectii cu axele sunt :

( 9 . 43 )

Pentru trasarea diagramei σ_{x tot} , se duc tangente la sectiunea transversala paralele cu axa neutra, prin punctele extreme fata de aceasta ( G si H in figura 9.7 ) . Pentru sectiunea dreptunghiulara din exemplul din figura 9.7 , tot prin punctele G si H . Se traseaza perpendiculara pe directia axei neutre , si se obtine diagrama tensiunii normale totale(fig.9.9):

PROPRIETATILE AXEI NEUTRE

a) Pozitia axei neutre nu depinde de marimea fortei axiale excentrice ci numai de punctul de aplicatie al acesteia si de caracteristicile geometrice ale sectiunii transversale ;

b) Daca punctul de aplicatie al fortei F se deplaseaza pe o dreapta ce trece prin centrul de greutate al sectiunii , axa neutra se deplaseaza paralel cu ea insasi , si anume cand punctul se apropie de centrul de greutate , ea se apropie de aceasta .

c) Daca punctul de aplicatie al fortei se deplaseaza pe o dreapta oarecare , axa neutra se roteste in jurul unui punct fix C , obtinut prin intersectia AN1 cu AN4 ( figura 9. 10-b ).

SAMBURE CENTRAL

Daca axa neutra nu taie sectiunea , sau este tangenta la conturul sectiunii transversale, sensul tensiunilor normale este acelasi pe toata sectiunea, de intindere daca forta, excentrica este de intindere sau compresiune daca forta excentrica este de compresiune . Pozitia axei centrale prezinta o importamta deosebita in cazul materialelor care au comportare diferita la intindere fata de compresiune . Se pune problema determinarii pozitiei punctului de aplicatie al fortei excentrice , astfel incat , intreaga sectiune sa aiba acelasi mod de solicitare , respectiv tensiunea normala sa fie numai de intindere sau numai de compresiune .

In zona centrala a sectiunii ( in zona centrului de greutate ) exista un domeniu numit sambure central , care se bucura de proprietatea ca , daca forta excentrica are punctul de aplicatie in interiorul sau , tensiunile pe intreaga sectiune transversala sunt de acelasi semn ; au semnul fortei excentrice: daca F este de intindere σ_x este de intindere , deci ( + ) , daca F este de compresiune , σ_x este de compresiune , deci ( - ) .Conturul samburelui central se determina , ducand axe neutre tangente la sectiune, pe care nu o intersecteaza , si determinand pentru fiecare axa neutra pozitia fortei excentrice corespunzatoare . Cunoscand pozitia axei neutre , se pot stabili punctul de aplicatie al fortei excentrice si anume :

( 9 . 44 )

Punctul P de coordonate P( z_o , y_o )trebuie astfel amplasat incat sa fie opus axei neutre , considerat in raport cu centrul de greutate al sectiunii transversale .

Determinarea pozitiei samburelui central intr-o sectiune transversala prezinta importanta asa cum s-a vazut , in special la materialele cu comportare diferita la intindere sau compresiune ( de exemplu betonul sau lemnul ) , astfel incat , intreaga sectiune sa fie doar comprimata (sau doar intinsa) , deci punctul de aplicatie al fortei sa apartina samburelul central .

EXEMPLE DE CALCUL

a) sectiune dreptunghiulara LMNP( fig.9.11 )

Se considera punctul A₁( 0,y_A1 ) de aplicatie al fortei excentrice ce actioneaza asupra asupra unui element de rezistenta a carui sectiune transversala este dereptunghiul LMNP . Axa neutra corespunzatoare ( cea care intereseaza ), paralela cu Oz va fi LM (AN₁), tangenta la sectiune :

Pentru axa neutra AN3 tangenta la sectiune prin PN , punctul de aplicatie al fortei este A₃(z_N3 , 0 ), a carui coordonate se obtin :

In acelasi mod , daca axa neutra se muta in MN, punctul de aplicatie al fortei va avea coordonatele A₄(0 , -b/6)

iar pentru axa neutra NP , punctul corespunzator de aplicatie al fortei va fi A₂( 0 , -h/6 ) .

Conturul obtinut A₁A₂A₃A₄ se numeste samburele central al sectiunii .

b) Sectiune circulara ( fig .9.12 )

Sectiunea circulara are samburele central un cerc a carui raza este :

4. FORFECARE CU RASUCIRE

CALCULUL ARCURILOR CU SPIRE APROPIATE

Considerand un arc cu spire apropiate , solicitat la compresiune ( figura 9.13 ) se constata , ca , spirele sunt solicitate la : intindere , incovoiere , forfecare si rasucire . Deoarece , la arcurile elicoidale cu spire apropiate , unghiul de inclinare al spirelor este mic , se neglijeaza solicitarea de intindere si incovoiere , calculul facandu-se la forfecare cu rasucire .

Pentru a pune in evidenta solicitarea din spira unui arc, se traseaza sectiunea transversala a acestuia (corespunzatoare unei spire din dreapta arcului elicoidal- marita - figura 9.14 -b) si se reduce forta ce comprima arcul , in centrul de greutate al spirei . se obtine torsorul de reducere format din :

( 9 . 45 )

Forta F produce forfecarea spirei , producand tensiuni tangentiale :

( 9 . 46 )

Momentul de torsiune M_t produce tensiuni tangentiale corespunzatoare unei solicitari de torsiune ( rasucire ):

( 9 . 47 )

Pentru calculul spirelor elicoidale ne intereseaza punctele cele mai solicitate , in care tensiunile sunt de acelasi semn , respectiv pozitive ( fig. 9.13 ) .

(9.48)

In mod curent , calculul de dimensionare se face numai pe baza solicitarii de rasucire , iar verificarea se face la solicitarea compusa .Pentru verificare , trebuie sa fie indeplinita conditia :

( 9 . 49 )

In cazul in care aceasta conditie nu este satisfacuta , se procedeaza la alegerea unui diametru mai mare pentru spira .