Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Vectori si operatii cu vectori


Vectori si operatii cu vectori


Vectori si operatii

1. Adunarea vectorilor

Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .



OS = u + v ( regula paralelogramului )

Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .

Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .

Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | .

Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | .

Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci | u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens .

Proprietetile adunarii :

  1. (u+v) +w = u+ (v+w) - asociativitate ;
  2. u+v = v+u - comutativitate ;
  3. exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v - element neutru ;
  4. oricare ar fi vectorul v exista (-v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 - element sincretic ;

(- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus .

| u | + | v | = √(u+v+2uv*cos α) ;

2. Inmultirea unui vector cu un scalar

Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel :

a)     pentru α>0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = α|v| ;

b)    pentru <0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea |α|*|v| ;

c)     pentru α=0 => 0*v = 0 ;

Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :

Fie α , β apartin lui R , u,v = 2 vectori ;

  1. βv )v
  2. v+u αv + αu
  3. 1* (v) = v ;
  4. 0* (v) = 0 ;

- Daca α=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .

Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .

u,v ≠ 0

u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ;



Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor Δ ABC atunci AA'+BB'+CC'=0

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));

-Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||);

-Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD - trapez ;

-In general FE ≤1/2(AB+DC) - intr-un patrulater ;

-Egalitatea are loc in trapez .

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));

Intr-un ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ;

- Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ;

Fie G = c.g. Δ ABC , M - un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ;

Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC= HO

H,G,O-coliniare si OH=3OG ;

- Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris - O , centrul de greutate - G si ortocentrul - H ) se numeste dreapta lui Euler .

Intr-un Δ , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 .







Politica de confidentialitate





Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate