Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme



Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Matrici inversabile


Matrici inversabile




Matrici inversabile

Def. Fie A o matrice de tipul m x n. Inversa la stanga a lui A este o matrice B de tipul n x m, astfel incat BA=In, (In este matricea unitate de ordin n). Inversa la dreapta a lui A este o matrice C de tipul n x m, astfel incat AC=Im.

Observatie. Pot exista mai multe inverse la dreapta (nu la stanga). Pentru matricele patratice, inversa la dreapta coincide cu inversa la stanga, daca acestea exista. (Prop. 1.7).

Def. Daca o matrice patratica A este inversabila la dreapta si la stanga, atunci ea se numeste inversabila. O matrice inversabila se numeste nesingulara, in caz contrar, se numeste singulara.




Inversa lui A, daca exista se noteaza A-1. Aceasta notiune o utilizam pentru rezolvarea ecuatiilor de tipul: AX=B sau XC=D.

Daca exista A-1, respectiv C-1, atunci ecuatia are solutie unica:X=A-1B, (respectiv X=DC-1).

Prop 1.8 Daca A este inversabila, atunci A-1 este inversabila si

(A-1)-1=A.

Observatie Matricile nulpotente nu sunt inversabile.

Prop. 1.9 Daca A si B sunt doua matrici inversabile de acelasi ordin, atunci produsul AB este inversabil si (AB)-1=B-1A-1.

Dem (B-1A-1)(AB)=B-1A-1AB=B-1IB=I

Corolar Daca A1, A2 . ,An este inversabila si (A1A2 . An)-1=

Grafuri orientate si matrici

Def. Un graf orientat, G=(X, U), este format dintr-o multime finita nevida de varfuri, X, si o multuime de sageti (curbe orientate), U X x X. Ordinul grafic este prin definitie, numarul de elemente din X, notat cu x (coordonatul lui X). Daca u=(x,y)IU, spunem ca u=(x, x), spunem ca u este o bucla in x.

Un graf orientat este deci format dintr-o multime X si o relatie binara U pe X. Spunem ca G este un graf reflexiv (a) simetric (b) sau tranzitiv (c), daca verifica una din relatiile:

a)      x I X    (x, x) I U;

b)      (x, y) I U (y, x) I U;

c)      (x, y) IU si (y,z) I U T (x, z) I U.

Def. Fie G=(X, U), un graf orientat. Un drum din G de lungime n (n o) este un sir finit, e=(x0, x1, . ,x1) de varfuri X astfel incat pentru orice i, 1 i n, sa avem (xi-1, xi) I U. Spunem ca este un drum de la x0 la xn. un drum este circuit daca x0=xn. In particular, pentru orice x I X, admitem ca drumul (x) este un circuit (lungimea lui este 0).

Def. Fie G=(X, U), un graf orientat. G este tare conex daca, daca pentru orice x, y I X, exista un drum de la x la y.

Def. Daca x I X este un varf al graficului orienat G=(X, U) putem defini:

d+(x)= = gradul de iesire a lui x (numarul sagetilor care pleaca din x)

si

d- (x)= = gradul de intrare a lui x (numarul sagetilor ce vin la x).

Prop. 1.10 (Lema loviturilor de picior).

Pentru orice graf orientat G=(X, U) avem

.

Def. Un graf orientat G=(X, U) este un graf simplu daca este simetric si fara bucle. In acest caz, o pereche pentru care (x, y) I U si (y, x) I U se numeste muchie a grafului simplu.




Putem, in reprezentarea grafului simplu sa inlocuim sagetile cu segmente.

Intr-un graf simplu, pentru orice varf x, gradul de iesire este egal cu gradul de intrare si se numeste gradul lui x:

d(x)=d+(x)=d-(x).

Prop. 1.11. (Lema strangerilor de mana)

Intr+un graf simplu G=(X, A), unde a reprezinta multimea muchiilor, avem:

Dem. Este suficient sa observam ca:

U A

Def. Fie G=(X, U), un graf orientat cu X= . Matricea adiacenta lui G este matricea patratica de ordin n, M(G) definita prin:

M(G)= mij unde mij=

daca (xI, xj) I U

0 daca (xI, xj) U.

Prop. 1.12. Fie G=(X, U), un graf orientat, M(G)= mij , matricea adiacenta. Atunci:

Pentru orice i   

d+(xi)= suma elementelor de pe linia i;

d-(xi)=suma elementelor de pe coloana i.

G este simetric daca si numai daca M(G) este o matrice simetrica.

Numarul buclelor din G este egal M(G).

M(G-1)=M(G)T unde G-1=(X, U-1)este graful opus sau dual lui G:

U-1=

M( )=E-M(G) unde E= eij cu ee pentru orice i si j, si =(X, ) este graful complementar lui G:




loading...




Politica de confidentialitate


Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate