Formule de calcul aproximativ al integralelor definite

Formule de calcul aproximativ al integralelor definite

1.Generalitati

Una dintre problemele dificile ale calculului integralelor este aceea de a calcula efectiv valorile unor integrale definite, deoarece, pe de o parte, nu toate functiile integrabile admit o primitiva, iar pe de alta parte , chiar si atunci cand primitivele exista, uneori, ele sunt greu de gasit. Practic, formula Leibnitz-Newton:

(1)

unde f este integrabila pe [a,b] iar F est o primitiva a lui f, nu poat fi utilizata cand nu poate fi determinata F.

Exista mai multe formule simple de calcul aproximativ al integralelor: formula trapezelor, formula lui Simpson, formula lui Newton,.

2.Prima formula a trapezelor

2.1. Deducerea formulei

Fie datafunctia f:[a,b] , (a<b), continua pe [a,b], de doua ori derivabila pe (a,b). urmarim sa determinam o formula de cuadratura, cu ajutorul careia sa putem evalua, aproximativ, integrala

. (2)

Presupunem ca am cunoaste o functie g:[a,b] , continua pe intervalul [a,b] de doua ori derivabila si cu derivatele continue, astfel incat , pentru . In acets caz putem scrie:

(3)

Deoarece vrem sa determinam o formula de cuadratura de tipul

(4)

adica sa nu mai apara valori ale derivatei lui f, comparand aceasta cu relatia (3), constatam ca se ajunge la rezultat daca au loc relatiile:

(5)

O functie g care sa indeplineaca conditiile impuse este un polinom de gradul al doilea. Fie g(x) = mx² + nx + p un polinom care sa satisfaca conditiile de mai sus. Rezulta ca trebuie sa aiba loc relatiile:

g(a) = ma² + na + p = 0

g(b) = mb² + nb + p = 0 (6)

Rezulta:

S-a determinat, astfel, functia

Rezulta:

Obtinandu-se formula de cuadratura:

(7)

care este "prima formula a trapezelor".

Reguli de aplicare a primei formule a trapezelor

Eroarea absoluta maxima a aproximantei lui I este cu atat mai mica cu cat lungimea intervalului [a, b] (deci, marimea b - a) este mai mica. De aceea, in practica, vom imparti acest interval in n parti egale, prin punctele:

a = x₀ < x₁ < x₂ <.< x_n = b

si aplicam formula pe fiecare subinterval [x_i; x_i+1]. Gasim, astfel:

, i = 1,2,3,.n

deoarece .

Tinand cont ca:

unde:

Notand rezulta:

(9)

care este o formula cu n+1 noduri (a = x₀ < x₁ < x₂ <.< x_n = b) si cu restul R, care este o alta forma a primei formule a trapezelor.

2.3. Interpretarea geometrica a primei formule a trapezelor

Presupunand functia pozitiva pe [a, b] si indeplinind conditiile necesare pentru a se aplica prima formula a trapezelor, din punct de vedere geometric, a inlocui pe (10)

revine la a inlocui aria domeniului marginit de arcul AB, axa Ox si dreptele x = a si

x = b cu aria trapezului marginit de segmentul AB, axa Ox si dreptele x = a si

x = b.