MODELUL JORGENSON

MODELUL JORGENSON

Este un model in care este urmarita strategia firmei in ceea ce priveste efectuarea investitiilor si efectele deprecierii capitalului asupra evolutiei intreprinderii analizate.

Investitiile sunt privite ca sacrificii ale puterii de cumparare actuale pentru obtinerea de venituri viitoare.

A. Ipotezele modelului sunt:

Maximizarea veniturilor actualizate, pe un orizont de timp infinit;

Pentru a face comparabile fluxurile de venit din diferite intervale de timp se introduce o rata de actualizare i, care reprezinta rata de revenire scontata a actionarilor;

Firma produce un singur tip de produs pa care-l vinde pe o piata perfect competitiva cu un pret fixat p.

Firma foloseste doua tipuri de factori de productie: munca si capitalul, pe care le achizitioneaza de pe piete competitive, astfel incat salariul mediu si pretul mediu al capitalului sunt fixate (w, c).

B. Ecuatiile modelului sunt:

1. Ecuatia venitului

(1)

unde:

= venitul net (profitul) la momentul

= productia fizica la momentul

= investitia bruta la momentul

= stocul de capital fix si circulant la momentul

= volumul fortei de munca la momentul

= pretul unitar al bunurilor capital

= pretul unitar al muncii (salariul mediu);

2. Ecuatia de dinamica a capitalului

= (2)

unde:

investitia neta;

rata de depreciere a capitalului

Obs. Ecuatia de mai sus este o ecuatie liniara in . Rezolvarea acesteia se reduce la rezolvarea ecuatiei omogene:

(3)

care are solutia generala:

_G^-at  (4)

iar, daca _p este o solutie particulara a ecuatiei liniare, solutia generala a ecuatiei liniare va fi:

^-at + K_p (5)

C. Functia de productie are proprietatile:

Crescatoare: >0, >0 (6)

Strict concava: : (7)

- Venituri descrescatoare la scala

Pentru ca activitatea de productie sa demareze este necesar ca venitul marginal al fiecarui factor sa depaseasca costul sau marginal:

(8)

unde:

- costul marginal al capitalului: pentru fiecare unitate monetara cheltuita pe bunuri capital trebuie asigurata revenirea (venitul) actionarilor si trebuie platita amortizarea;

w - costul unitar al muncii

D. Modelul matematic este:

(9)

(10) (11) (12)

(13)

si reprezinta o problema de control optimal.

E. Rezolvarea matematica a modelului se face utilizand principiul lui Pontreaghin.

Deoarece functia obiectiv este cu actualizare (apare ) construim hamiltonianul ajustat (fara actualizare):

(14)

unde variabila adjuncta va fi exprimata in acest caz prin transformata:

(15)

- fiind variabila adjuncta corespunzatoare hamiltonianului care contine termenul de actualizare , variabila despre care se stie ca verifica ecuatia de dinamica:

(16)

de unde rezulta:

(17)

sau, mai general, teorema:

Teorema: Daca X(t) este vectorul variabilelor de stare si este hamiltonianul asociat unei probleme de control optimal fara restrictii atunci variabilele adjuncte folosite in constructia hamiltonianului, prin excluderea factorului de actualizare (e^-it) din functia-obiectiv, verifica ecuatia de dinamica:

unde (18)

Daca exista si restrictii asupra variabilelor, ca in cazul de fata restrictiile:

atunci definim Langrangeanul asociat problemei:

unde v(t) este multiplicatorul asociat restrictiei asupra variabilei de stare K(t) iar si multiplicatorii asociati restrictiilor asupra variabilei de decizie .

Ecuatia de dinamica a variabilei adjuncte trebuie inlocuita cu ecuatia:

(20)

Sistemul de conditii Kuhn-Tucker se reduce la conditiile:

(21)(22)

si:

care este un sistem de 5 ecuatii cu 5 necunoscute I, L, m si v, din care vom exprima variabilele de decizie I si L in functie de variabila de stare K si de variabile ajuncte y

In final, variabila de stare K(t) va fi gasita din sistemul de ecuatii diferentiale format din ecuatia de dinamica a variabilei de stare (10) la care se adauga ecuatia de dinamica a variabilei adjuncte (20), rezultand un sistem SD de 2 ecuatii diferentiale cu 2 necunoscute (

cu valoarea initiala si conditia de transversalitate:

Revenind la sistemul de conditii Kuhn-Tucker, deoarece nu putem accepta situatia in care capitolul este nul pe intregul orizont de timp analizat, pentru ecuatia (25) analizam doar solutia:

(29)

Din (22) rezulta:

(30)

adica venitul marginal al muncii = costul marginal, de unde:

(31)

care spune ca productivitatea marginala a muncii este constanta pe traiectoria de optim si anume, este egala cu costul real al muncii, de unde rezulta ca functia de productie Q este liniara in L. Cum Q(K,L,) este strict concava rezulta ca este strict concava in K si, in concluzie, derivata este strict descrescatoare si implicit, injectiva. Rezulta ca fiecarei valori a productivitatii marginale a capitalului (=panta functiei Q(K) ii corespunde o singura valoare a capitalului K de unde rezulta ca punctul de optim (L^*, K^*) este unic.

Fiecare din ecuatiile (23) si (24) implica doua cazuri ( sau , ) rezolvarea sistemului presupunand analiza a 2²=4 variante, care pot fi sintetizate conform tabelului de mai jos:

6. Analiza traiectoriilor

Traiectoria I

Rezulta ca ceea ce este absurd deoarece s-a presupus ca sau echivalent spus traiectoria I nu este admisibila.

Traiectoria II:

Implica iar ecuatia de dinamica a capitalului va avea solutia:

unde A se obtine din conditia initiala K(0) = K₀, rezultand:

si in final traiectoria:

Deoarece rezulta ca pentru valori suficient de mari ale lui t ar rezulta in contradictie cu conditia si, in concluzie, aceasta traiectoria nu poate fi cea finala.

Traiectoria III : )

Implica si ecuatia de dinamica va fi:

unde A se obtine din conditia initiala K(0) = K₀ rezultand:

si in final traiectoria:

Pentru valori suficient de mari ale lui t, avem :

si tinand cont ca , rezulta ecuatia de dinamica a variabilei adjuncte:

care are solutia:

Cum concava si crescatoare pozitiva si descrescatoare, ceea ce implica faptul ca admite asimptota orizontala la

care spune ca solutia particulara poate fi aproximata la cu solutia particulara a ecuatiei:

adica:

In concluzie:

si nu respecta conditia de transversalitate, adica nu poate fi solutia finala.

Traiectoria IV :

Conditiile Kuhn-Tucker devin:

si :

(42)

Din ecuatia implicita (42) se obtine variabila de decizie L(t) in functie de variabila de stare K(t):

(43)

Introducand relatiile (41) si (43) in ecuatia de dinamica a variabilei adjuncte (27), rezulta:

si obtinem:

Ecuatia (45) este o ecuatie algebrica cu necunoscuta K(t).

Rezolvand aceasta ecuatie rezulta :

de unde:

(47)

Inlocuind rezultatul (46) in relatia (43) obtinem volumul fortei de munca:

(48)

Din ecuatia de dinamica rezulta valoarea investitiilor:

(49)

Deoarece:

rezulta ca traiectoria IV satisface conditia de transversalitate.

In ceea ce priveste analiza traiectoriei finale, avem doua variante :

A)    Daca solutia gasita satisface si conditia initiala si este traiectoria finala.

B)     Daca solutia gasita nu satisface si condiia initiala si nu este traiectoria finala.

In acesT caz, deoarece nici una din solutiile gasite nu poate fi singura solutia finala, cautam solutii cimpuse. Deoarece singura solutie care satisface conditia de transversalitate este traiectoria IV, ea va fi traiectoria finala pe un interval de tipul (T, ¥). Ea trebuie insa, pentru a se indeplini si conditia initiala, sa fie precedata de cel putin una din traiectoriile II si III. In functie de relatia dintre valoarea initiala a capitalului K₀ si valoarea K^* corespunzatoare traiectoriei IV, avem doua variante:

Varianta 1:

In acest caz, pentru a ajunge de la valoarea K₀ a capitalului la valoarea mai mica K^* firma trebuie sa aplice o politica de decapitalizare care duce la o traiectorie descendenta a capitalului (traiectoria II) pana cand valoarea capitalului devine , moment in care firma cupleaza pe traiectoria constanta IV.

Momentul de cuplare t^* se obtine din relatia de cuplare

care duce la solutia:

Pentru ca aceasta comutare sa fie acceptabila este necesar sa fie respectate conditiile de continuitate si derivabilitate impuse functiilor implicate in model.

In acest caz:

pe traiectoria II si pe traiectoria IV

si pe ambele traiectorii

Pentru claritatea expunerii vom nota cu si cei doi multiplicatori corespunzatori celor doua traiectorii .

In momentul cuplarii trebuie ca si de asemenea 0.

Pe traiectoria II avem:

(53)

si prin inlocuirea in ecuatia de dinamica a variabilei de ajustare avem:

-+(54)

relatie care, pentru implica:

(55)

Evolutia marimilor K, L, si I este ilustrata grafic mai jos:

Figura 15

In acest caz, pentru a ajunge de la valoarea K₀ a capitalului la valoare mai mare K, firma trebuie sa aplice o politica de investitii maxime (I = I_max) care duce la o traiectorie ascendent[ a capitalului (traiectoria III) pana cand valoarea capitalului devine K(t) = K*, moment in care firma cupleaza pe traiectoria constanta IV.

Momentul de cuplare t^* se obtine din relatia de cuplare

care duce la solutia:

Pentru ca aceasta comutare sa fie acceptabila este necesar sa fie respectate conditiile de continuitate si derivabilitate impuse functiilor implicate in model.

In acest caz:

pe traiectoria III si pe traiectoria IV

si v=0 pe ambele traiectorii

In momentul cuplarii trebuie ca si de asemenea .

Pe traiectoria III avem:

(58)

si prin inlocuirea in ecuatia de dinamica a variabilei de ajustare avem:

(59)

relatie care, pentru implica:

(60)

Evolutia marimilor K,L, si I este ilustrata in figura 14.b.

In concluzie, traiectoriile optimale in cel mult doua stadii sunt:

Daca

		Forta de munca

Figura 15..b

2. Daca

3. Daca

Cum trecerea de pe traiectoria II pe traiectoria III sau reciproc nu este posibila deoarece ar rezulta functii ale multiplicatorilor nederivabile nu sunt admise solutii de cate trei traiectorii sau mai multe.