Simetrii, proiectii, sume directe

Simetrii, proiectii, sume directe

In paragraful anterior am stabilit o clasa de operatori de structura simpla: cei care au n valori proprii distincte. Nu toti operatorii indeplinesc aceasta conditie, din doua motive:

in cazul cand corpul scalarilor nu este algebric inchis polinomul caracteristic nu are intotdeauna toate radacinile in acest corp, nu se descompune in factori de gradul intai;

chiar daca polinomul caracteristic se descompune in factori liniari,
s-ar putea ca unele radacini sa fie multiple.

In cele ce urmeaza vom prezenta unele clase de operatori care, desi au valori proprii multiple sunt de structura simpla.

Simetrie

Se numeste simetrie a spatiului vectorial V peste corpul K un operator liniar f care are proprietatea ca aplicatia identica a spatiului V. Aceasta proprietate mai este numita si involutie.

Daca λ este o valoare proprie a unui astfel de operator, atunci este valoare proprie a operatorului , adica a matricei . Dar toate valorile proprii ale matricei sunt egale cu 1. Rezulta adica toate valorile proprii ale lui f sunt egale cu 1 sau cu -1.

Propozitie

Orice simetrie este un operator de structura simpla.

Demonstratie

Fie f o simetrie a spatiului V. Sa notam spatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii si spatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii . Pentru orice este indeplinita egalitatea:

.

Deoarece , rezulta ca:

adica si . Inseamna ca .

In plus, suma este directa. Intr-adevar, daca , atunci din rezulta , iar din rezulta . Deci de unde: .

O baza a lui este formata din vectori proprii corespunzatori valorii proprii , iar o baza a lui este formata din vectori proprii corespunzatori valorii proprii . Deoarece suma este directa, punand la un loc bazele celor doua subspatii se obtine o baza a spatiului V. Deci exista o baza formata din vectori proprii. Q.E.D.

Interpretare geometrica

Fie = spatiul real tridimensional al vectorilor fizici reprezentati de sageti si presupunem ca pentru o simetrie f a spatiului, subspatiul are dimensiunea doi, adica se identifica cu un plan, iar are dimensiunea egala cu unu, fiind generat de un vector v.

Vectorii din planul V sunt lasati pe loc de catre f, pe cand cei colineari cu v sunt transformati in opusii lor. Daca fixam punctul O ca sursa a tuturor sagetilor, vectorii se identifica cu punctele spatiului, vectorii de pozitie ai punctelor spatiului.

Aplicatia f transforma punctele spatiului in simetricele lor fata de planul , dar in directia vectorului v. Daca v este perpendicular pe planul , atunci avem de-a face cu simetria propriu zisa (ortogonala) fata de planul .

Fig. 5.1

Proiectii

Numim proiectie a spatiului vectorial V peste corpul K un operator liniar f avand proprietatea Aceasta proprietate este cunoscuta si sub numele de idempotenta.

Daca λ este o valoare proprie a proiectiei f si v un vector propriu corespunzator, atunci pe de o parte , iar pe de alta parte, din rezulta . Deci , adica . Cum rezulta si deci sau sau . Asadar orice proiectie are numai doua valori proprii: 0 si 1.

Propozitie

Orice proiectie este operator de structura simpla.

Demonstratie

Sa notam subspatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii si subspatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii .

Pentru orice este indeplinita conditia:

.

Sa observam ca si . Intr-adevar,

Inseamna ca . Sa aratam ca suma este directa. Daca , atunci din rezulta , iar din rezulta . Deci .

La fel ca si in cazul simetriilor, punand la un loc bazele celor doua subspatii, care sunt formate din vectori proprii, se obtine o baza a lui V formata din vectori proprii. Q.E.D.

Interpretare geometrica

Daca este spatiul tridimensional reprezentat de sageti avand sursa
intr-un punct fixat O proiectia va avea semnificatia geometrica cunoscuta.

Intr-adevar, daca pentru o proiectie f a acestui spatiu este un plan trecand prin punctul O, iar este subspatiul generat de un vector v atunci pentru orice vector al spatiului, ca vector de pozitie al unui punct oarecare P, imaginea sa prin f este exact proiectia lui P pe planul in directia vectorului v.

Daca vectorul v este perpendicular pe planul , atunci obtinem proiectia obisnuita (perpendiculara) pe planul .

Sume directe si proiectii

Am vazut ca daca se da o proiectie f a spatiului V, ea determina o descompunere a spatiului V in suma directa de doua subspatii: .

Subspatiul este definit de ecuatia vectoriala , adica este subspatiul vectorilor care raman neschimbati prin operatorul f. Convenim sa numim acest subspatiu subspatiul pe care se efectueaza proiectia.

Subspatiul este definit de ecuatia , adica este nucleul lui f. Este subspatiul in directia caruia se efectueaza proiectia.

Asa cum se observa in interpretarea geometrica exista mai multe proiectii pe un subspatiu dat, de exemplu pe planul . Anume sunt atatea proiectii cate directii sunt neparalele cu planul . Acest lucru se poate generaliza la un spatiu oarecare.

Propozitie

Orice descompunere in suma directa determina proiectia f pe subspatiul in directia subspatiului . Operatorul este tot proiectie, si anume pe subspatiul in directia subspatiului .

Demonstratie

Din definitia sumei directe orice vector x se scrie in mod unic sub forma , unde . Definim functia f prin: .

Evident ca daca este descompunerea lui y, atunci unica descompunere a lui este , de unde rezulta ca . Pe de alta parte deoarece rezulta ca . Asadar f este un operator liniar.

Tot din definitia sumei directe, mai precis din unicitatea scrierii lui x sub forma cu , rezulta ca daca si numai daca si daca si numai daca . Deci daca , atunci , iar daca , atunci .

Ca urmare, adica f este o proiectie. Evident ca spatiul proiectiei f este , iar directia proiectiei f este subspatiul .

Operatorul este proiectie:

.

Spatiul proiectiei g este determinat de ecuatia adica , care este echivalenta cu care defineste directia proiectiei f. Directia proiectiei g este data de ecuatia , adica , care este echivalenta cu si deci defineste spatiul proiectiei f. Q.E.D.

Propozitia anterioara se generalizeaza la descompunerea intr-o suma directa finita de subspatii.

Teorema 1

Orice descompunere in suma directa de subspatii defineste o familie de proiectii , astfel incat:

Spatiul proiectiei lui este .

Directia proiectiei lui este subspatiul obtinut prin excluderea lui din suma in care este descompus intregul spatiu V.

pentru .

.

Demonstratie.

Pe baza propozitiei anterioare conditiile (1) si (2) definesc proiectiile .

Afirmatia 3 rezulta din faptul ca directia proiectiei , care este nucleul lui f_i, contine spatiile de proiectie ale tuturor celorlalte proiectii.

Din definitia sumei directe orice vector se scrie in mod unic sub forma cu . Evident, si pentru .

De aici rezulta:

Subspatii invariante

Fie f un operator liniar al spatiului vectorial V. Un subspatiu al lui V se numeste subspatiu invariant pentru f daca . Asadar pentru orice . De exemplu, pentru orice valoare proprie λ, subapatiul este un subspatiu invariant pentru f.

Teorema 2

Fie o descompunere in suma directa a lui V si un operator liniar al lui . Acesti operatori definesc un operator liniar al lui V astfel: .

In aceste conditii polinomul caracteristic al lui f este produsul polinoamelor caracteristice ale operatorilor .

Demonstratie

Sa consideram cate o baza in fiecare subspatiu si sa notam A_i matricea operatorului in baza . Dupa cum se stie, reunind bazele se obtine o baza B a lui V. Din felul cum se alcatuieste matricea unui operator
intr-o baza data rezulta ca matricea lui f in baza B este urmatoarea:

.

Diagonalele blocurilor sunt suprapuse peste diagonala matricei A. In concluzie, atunci cand se scade λ pe diagonala matricei A, el se va scade pe diagonalele tuturor blocurilor . Pe de alta parte determinantul unei matrice formate din blocuri patratice pe diagonala este produsul determinantilor acestor blocuri. Ca urmare:

unde am notat Q.E.D.