Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune.stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme




Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Numere reale - Puteri cu exponent rational


Numere reale - Puteri cu exponent rational


Numere reale

Partea intreaga a unui numar aIR este cel mai mare numar intreg a si se noteaza a . Partea fractionara a lui a este: a =a- a



xIR avem: x x< x

x-1< x x

0 x <

Puteri cu exponent rational

, avem:

Radicali

Ordinul unui radical este numar natural 2. Radicalii de ordin par au sens din numere 0 si sunt numere

Radicalii de ordin impar au sens din orice numar real.

Radicalii de ordin impar din numere < 0 sunt numere <

Pentru a, bIR, n, mIN (atunci cand radicalii au sens) avem:

Doua expresii cu radicali se numesc conjugate daca produsul lor se poate scrie fara radicali.

Rationalizarea numitorului este operatia de eliminare a radicalilor de la numitor. Pentru rationalizarea numitorului unei fractii, o amplificam cu conjugata numitorului.

Pentru n impar avem:

Pentru a1, a2, . , an > 0, avem     inegalitatea mediilor.

(media armonica, media geometrica, media aritmetica, media patratica)


Modulul (valoarea absoluta) a lui aIR este

Ecuatii

ax+b=0, a,bIR, a 0 are solutia unica x = - b/a

ax2+bx+c=0, a,b,cIR, a D=b2- 4ac

a)     


D>0 T ecuatia are doua solutii reale:

b)     


D T ecuatia are o solutie reala:

c)      D< T ecuatia nu are solutii reale.

Descompunerea in factori a trinomului ax2+bx+c

D> T ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

D T ax2+bx+c=a(x+b/2a)2

D< T polinom ireductibil peste R

Relatiile lui Viète

Fie x1,x2 solutiile ecuatiei ax2+bx+c=0

s=x1+x2= - b/a

p=x1 x2= c/a

Formarea ecuatiei de gradul al II-lea cand ii cunoastem solutiile

Fie x1,x2IR

s=x1+x2

p=x1 x2

Ecuatia care are solutiile x1,x2 este: x2-sx+p=0

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea fata de un numar real


Fiind data o ecuatie de gradul al II-lea cu parametru, pentru a afla parametrul astfel incat x1<a, x2<a punem conditiile:

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea fata de doua numere


Fiind data o ecuatie de gradul al II-lea cu parametru, pentru a afla parametrul astfel incat x1<a< x2<b punem conditiile:

Conditia ca doua ecuatii de gradul al II-lea sa aiba aceleasi radacini

Ecuatiile ax2+bx+c=0 si a1x2+b1x+c1=0 au aceleasi radacini a/a1=b/b1=c/c1 (daca un numitor este 0, atunci si numaratorul corespunzator este 0).

Condiaia ca doua ecuatii de gradul al doilea sa aiba o radacina comuna se obtine rezolvand sistemul format cu cele doua ecuatii.

Ecuatiile irationale au necunoscuta sub radical. Pentru radicalii de ordin par punem conditia ca radicalii si expresiile de sub radicali sa fie 0. Verificam solutiile.

Functii

Functia de gradul I (liniara)

f:R R, f(x)=ax+b, a,bIR

a> T f strict crescatoare

a< T f strict descrescatoare

  a=0 T f constanta


Functia de gradul al II-lea

f:R R, f(x)=ax2+bx+c, a,b,cIR, a

V(-b/2a,- D/4a)=varful

a> T Vmin

a< T Vmax

Graficul este o parabola




Compunerea a doua functii

f : A B, g : B C T g f : A C, (g f)(x)=g(f(x))

PARALELISM SI CALCUL VECTORIAL

Distanta dintre doua puncte

In plan

M1(x1,y1), M2(x2,y2) T

In spatiu

Regula triunghiului


Regula paralelogramului


Vectori coliniari

si sunt coliniari aIR astfel incat

Punctul care imparte un segment intr-un raport dat

Daca A, B, M = coliniare si , ( ) O din plan


G - centrul de greutate al triunghiului ABC

G - centrul de greutate al triunghiului ABC


A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), G = centrul de greutate al triunghiului ABC

T

Coordonatele unui vector


x, y = coordonatele vectorului OM


Ecuatia unei drepte in plan


m = tgj = panta dreptei d    m = b a = panta dreptei d

Ecuatia dreptei care trece prin M0(xo,yo) si de panta m este:

y-yo=m(x-xo)

Ecuatia dreptei care trece prin doua puncte M1(x1,y1) ]i M2(x2,y2) este:


n=0 T y=mx T ecuatia unei drepte care trece prin origine


ax+by+c=0 - ecuatia generala a dreptei

Fie: (d) : y=mx+n

(d') : y=m'x+n'

d d' m=m'

d d' mm'= -1

Pentru a afla punctul de intersectie a doua drepte concurente rezolvam sistemul format cu ecuatiile lor.

TRIGONOMETRIE

p (radiani)


sin

cos

tg

ctg

p

p

p

p


sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a

sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

tg (a +b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a tg b)

tg (a -b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a tg b)

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sin2 a

tg 2a = 2tg a / (1 - tg2 a)

arcsin : p p

arccos : p

arctg : R p p

arcctg : R p

arcsin (-t) = - arcsin t

arccos (-t) = p - arccos t

arctg (-t) = - arctg t

arctg (-t) = p - arcctg t

arcsin t + arccos t = p

arctg t + arcctg t = p

Ecuatii trigonometrice

sin t = a are solutii daca a I T t = (-1)k arcsin a + kp, k I Z

cos t = a are solutii daca a I T t = arccos a + 2kp, k I Z

tg t = a T t = arctg a + kp, k I Z

ctg t = a T t = arcctg a + kp, k I Z

sin u = sin v T u = (-1)k v + kp, k I Z

cos u = cos v T u = v + 2kp, k I Z

tg u = tgv T u = v + kp, k I Z

ctg u = ctg v T u = v + kp, k I Z

Teorema sinusurilor

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, R = raza cercului circumscris triunghiului ABC

Teorema cosinusului

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

Aria triunghiului ABC =bh / 2 = (ab sin C )/2=(a2 sin B sin C)/ 2sin A= abc / 4R = pr =

r - raza cercului inscris in triunghiul ABC

CLASA a X-a

Progresii aritmetice

Sirul an este progresie aritmetica an = an-1 + r, ( ) n

an este progresie aritmetica

an = a1 + (n-1)r, ( ) n

Progresii geometrice

Sirul bn (b1 0, q 0) este progresie geometrica bn = bn-1 q, ( ) n

Sirul bn este progresie geometrica b2n = bn-1 bn+1, ( ) n

bn = b1 qn-1, ( ) n

Functii

Fie A, B R, f : A B

Daca A are n elemente si B are m elemente, exista nm functii definite pe A, cu valori in B.

f crescatoare daca ( ) x1, x2 I A, x1 < x2 T f(x1) f(x2)

f strict crescatoare daca ( ) x1, x2 I A, x1 < x2 T f(x1) < f(x2)

f descrescatoare daca ( ) x1, x2 I A, x1 < x2 T f(x1) f(x2)

f strict descrescatoare daca ( ) x1, x2 I A, x1 < x2 T f(x1) >f(x2)

f injectiva daca ( ) x1, x2 I A, f(x1) = f(x2) T x1 = x2

f surjectiva daca ( ) y I B, ( ) x I A, a. [. f(x) = y

f bijectiva f injectiva si surjectiva

f inversabila f bijectiva

f-1 : B A, f-1(y) = solutia obtinuta la surjectivitate

Graficele lui f si f-1 sunt simetrice fata de prima bisectoare (y = x).

Functia exponentiala

f : R ), f(x) = ax, a > 0, a


Functia logaritmica

f : R, f(x) = logax, a > 0, a


Functia exponentiala este bijectiva T este inversabila si inversa ei este functia logaritmica de aceeaai baza.

logay = x ax = y

loga(x y) = logax + logay

loga(x/y) = logax - logay

logaxn = n logax

Numere complexe

z = x + iy ; (i2 = -1) T forma algebrica a unui numar complex

Re(z) = x; Im(z) = y

M(x,y) = imaginea lui z

z = afixul lui M

z = x + iy = conjugatul lui z

Forma trigonometrica a unui numar complex

z = x + iy ,(i2 = -1) T forma algebrica

M(x,y) = imaginea lui z

t = arctg y/x + kp T argumentul lui z

M(x,y) I cadranul I T k = 0

M(x,y) I cadranul II, III T k = 1

M(x,y) I cadranul IV T k = 2

z = r (cos t + i sin t) T forma trigonometrica

Fie z1 = r1 (cos t1 + i sin t1)

z2 = r2 (cos t2 + i sin t2)

Atunci:

Formula lui Moivre


(cos t + i sin t)n = cos nt + i sin nt

Ecuatia de gradul al doilea (cu coeficienti reali)

D<0T doua radacini complexe conjugate


Elemente de geometrie in plan si in spatiu

Fie

(produsul scalar al vectorilor u, v)

(j = unghiul dintre vectorii u, v)

Ecuatia planului: Ax + By + Cz + D = 0

Distanta de la un punct M0 (x0, y0, z0) la planul Ax + By + Cz + D = 0 este:

Poliedre - arii, volum


Paralelipipedul dreptunghic (bazele si fetele laterale sunt paralelograme)


Paralelipipedul (bazele si fetele laterale sunt paralelograme)


Prisma dreapta    Prisma oblica


Piramida


Trunchiul de piramida


Corpuri rotunde - arii, volum

Cilindrul circular drept


Conul


Trunchiul de con


Sfera


Aria zonei sferice=2pRh

Aria calotei sferice=2pRh

Polinoame

Teorema impartirii cu rest

f = g q + r, grad r < grad g

Restul impartirii lui f la x-a este r = f(a)

Teorema lui Bezout: a este radacina a polinomului f x-a divide f.

Relatiile lui Viète

anxn + an-1xn-1 + . + a1x + a0 = 0, x1, x2, . , xn radacinile ecuatiei

s1 = x1 + x2 + . + xn = - an-1 / an

s2 = x1x2 + x1x3 + . + xn-1xn = an-2 / an

sn = x1x2 . xn = (-1)n a0 / an

Ecuatia care are radacinile x1, x2, . , xn este xn - s1xn-1 + s2xn-2 - . + (-1)nsn = 0

Daca f I R X si a este radacina a lui f atunci:

este radacina a lui f

a si au acelasi ordin de multiplicitate

Daca f I Q X si este radacina a lui f atunci:

este radacina a lui f

si au acelasi ordin de multiplicitate.

Daca f I Z X , radacinile intregi ale lui f sunt divizori ai termenului liber.

Daca f I Z X si p/q este o radacina rationala a lui f atunci p divide termenul liber, iar q divide coeficientul dominant.

Permutari, aranjamente, combinari

Fie a,bI N*. Numarul sirurilor cu b elemente apartinand unei multimi cu a elemente este ab.

Fie A o multime cu a elemente si B o multime cu b elemente. Numarul functiilor definite pe A, cu valori in B este ba.

Fie A o multime cu n elemente. Multimile ordonate formate cu cele n elemente ale lui A se numesc permutari de n elemente. Numarul permutarilor de n elemente este:

Pn = n! = 1 n, n I N*; 0! = 1

Fie A o multime cu n elemente. Submultimile ordonate ale lui A, avand fiecare k elemente, se numesc aranjamente de n elemente luate cate k. Numarul aranjamentelor de n elemente luate cate k este:

Fie A o multime cu n elemente. Submultimile lui A avand fiecare k elemente se numesc combinari de n elemente luate cate k.

Numarul combinarilor de n elemente luate cate k este:

Binomul lui Newton

, 0 k n T termenul de rang k+1





Politica de confidentialitate





Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


PROIECT - Cel mai mic multiplu comun al doua numere naturale (c.m.m.m.c)
TRIUNGHIUL LUI PASCAL
RELATII METRICE IN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
Test la matematica limite
Analiza factoriala a variantei
Compunerea functiilor
REPREZENTAREA NUMERELOR NATURALE PE AXA. COMPARAREA SI ORDONAREA.
FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE ARCULUI DUBLU
Forma canonica Jordan
Formule si scheme probabilistice




termeni
contact

adauga