Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE ARCULUI DUBLU


FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE ARCULUI DUBLU




FUNCTII  TRIGONOMETRICE  ALE ARCULUI DUBLU

            Vom deduce valorile sin2x, cos2x, tg2x, apoi ca aplicatie valorile sin3x, cos3x.

sin2x = 2sinx×cosx , (') x I R




 a.i. cosx ¹ 0, cos2x ¹ 0

 
            Avem urmatoarele formule:

Demonstratie

sin2x = sin(x+x) = sinx×cosx + sinx×cosx = 2sinx×cosx

(am aplicat formula sin(a+b) = sina×cosb + sinb×cosa, inlocuind a = b = x )

cos2x = cos(x+x) = cosx×cosx - sinx×sinx = cos2x – sin2x

(am aplicat formula cos(a+b) = cosa×cosb - sinb×sina, inlocuind a = b = x )

cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – (1-cos2x) = 2×cos2x -1 sau

cos2x = cos2x – sin2x = 1 – sin2x – sin2x = 1 – 2 sin2x

tg2x = tg(x+x) =

(am aplicat formula tg(a+b) =  )

Aplicatii

sin3x = sinx×(3 - 4sin2x) , (') x I R

cos3x = cosx×(4cos2x – 3) , (') x I R

 

Vom deduce prima formula, pentru cea de-a doua procedandu-se analog.

sin3x = sin(2x+x) = sin2x×cosx + sinx×cos2x = 2sinx×cos2x + sinx(1 – 2sin2x) = 2sinx×(1 – sin2x) + sinx – 2sin3x = 3sinx – 4sin3x = sinx×(3 – 4sin2x).

Din formula cos2x = 1 – 2sin2x, deducem  , (') x I R,

iar din formula cos 2x = 2cos2x – 1, decucem  , (') x I R.

Aceste doua ultime formule se mai numesc formule de liniarizare si ele sunt utile in aplicatii intrucat permit trecerea de la patrate de functii trigonometrice la functii trigonometrice la puterea intai, insa avand argumentul dublu.

            In multe aplicatii sunt utile si formulele:

  care sunt deduse imediat din formullele ce exprima sin3x, respectiv cos3x.

2. Probleme rezolvate

1) Demonstrati identitatile trigonometrice:

a)     (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 = 4                    c) (cos a - cos b)2 + (sin a - sin b)2 = 4

b)     (cos a + cos 2a)×(2cos a – 1) = cos 3a + 1

Rezolvare

Vom verifica b), a) si c) verificandu-se analog.

(cos a - cos b)2 + (sin a - sin b)2 = cos2a + cos2b – 2cos a×cos b + sin2a + sin2b – 2sin a×sin b =

= 2 – 2(cos a×cos b + sina×sin b) = 2 -  2cos(a-b) = 2[1 – cos(a-b)] = 4

2) Demonstrati ca:

Rezolvare:

Folosim formula

3) Sa se arate ca:

cos60×cos660×cos420×cos780 = , demonstrand mai intai 4×cos a×cos(600 - a)×cos(600 + a) = cos 3a

Rezolvare :

4×cos a×cos(600 - a)×cos(600 + a)=4×cos a×(cos600×cos a + sin600×sin a)×( cos600×cos a - sin600×sin a)=  

In identitatea verificata inlocuim a = 60 si a = 180 si obtinem:

4cos60×cos540×cos660 = cos180                       4cos180×cos420×cos780 = cos540

Inmultind membru cu membru cele doua egalitati obtinem rezultatul dorit.

4) Demonstrati ca 

Rezolvare:

Impartim prin

Evident alegem numai solutia pozitiva, intrucat

5) Demonstrati identitatea:

Rezolvare:

Membrul stang se scrie astfel:

7) Calculati valoarea produsului P = cosx×cos2x×cos22xׅ.cos2nx.

Rezolvare:

Calculam

 

Observatie

Retineti modalitatea de calcul a acestui produs de cosinusuri in care argumentele formeaza o progresie geometrica. Pentru calculul sau, a fost necesar un „bobarnac” acesta fiind sinx, cu care am inmultit egalitatea, factorii din membrul drept „consumandu-se” doi cate doi pe baza formulei

sin a×cosa= ×sin2a

8) a) Demonstrati  identitatea trigonometrica

b) Deduceti valoarea produsului:

Rezolvare:

3. Probleme propuse

1) Demonstrati identitatile trigonometrice:

a) sin 6x = 2sin 5x×cosx – sin 4x                    c)

b) cos 6x = 2cos 5x×cos x – cos 4x    

2) Sa se arate ca:

a)                                          e) sin(a + b)×sin c +  sin(b – c)×sin a = sin(a + c)×sin b

b) cos2 (x + y) – cos2(x – y) + sin 2x×sin 2y = 0                    f) sin(a + b)×cos c – cos(b – c)×sin a = cos(a + c)×sin b

c) [sin2(x + y) + sin2(x – y)]×[cos2(x + y) + cos2(x – y)] = 1 – cos2 2x×cos2 2y

d) (1 + tgx)2 + (1 + ctgx)2 = 4×                   g) (sin 2a +  sin 4a)2 + (cos 2a + cos 4a)2 = 4×cos2 a

3) Demonstrati identitatile:

4) Demonstrati  ca:

a) cos2 2x + cos2 (x – y) - 2×cos(x – y)×cos(x + y)×cos 2x = sin2 x + sin2 y + 2sin x×sin y×cos(x + y) , (') x, y I R

b) cos x <   , (') x I (0, p)

c) sin(x + y)×sin(y + z)×sin(z +  x) ³ sin 2x×sin 2y×sin 2z, (') x, y, z, I [0, ]





5) Calculati:

6) Calculati produsul: 

 Exprimarea functiilor trigonometrice in functie de tangenta arcului pe jumatate

            Functiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg se exprima rational in functie de tangenta semiunghiului dupa urmatoarele formule:

      , cos

Demonstram primele doua egalitati:

            

Probleme rezolvate

1) Determinati imaginea functiei f : R ® R, f(x) = a sin x + b cos x ; a, b I R.

R. Notam  si atunci functia f in variabila t este f(t) = .

Notam f(t) = y si obtinem 2at + b – bt2 = y + y t2 sau (b+y)×t2 – 2at – b + y = 0, care este o ecuatie de gradul al doilea in variabila t. Intrucat t I R se impune conditia D ≥ 0 sau 4a2 – 4(y2 – b2) ≥ 0.

Deci

2) Daca tg a = 2, calculati sin 4a si cos 4a.

R. Calculam  si

Analog pentru cos 4a.

5. Transformarea sumei (diferentei) de functii trigonometrice in produs.

Au loc urmatoarele identitati:

Demonstratie:

sin(a+b) = sin a×cos b + sin b×cos a    sin(a-b) = sin a×cos b – sin b×cos a

Notam a+b = x ; a-b = y , rezulta    .

Adunam primele egalitati membru cu membru si obtinem:

Pentru y ® -y rezulta, tinand cont de imparitatea sinusului:

Pentru celelalte doua identitati folosim:

cos(a+b) = cos a×cos b – sin a×sin b    cos(a-b) = cos a×cos b + sin a×sin b

si cu aceleasi notatii, adunand si scazand egalitatile membru cu membru obtinem rezultatele anuntate.

Observatie

Deduceti formulele:

6. Transformarea produselor de functii trigonometrice in sume.

Au loc urmatoarele identitati:

Folosind formulele deduse anterior si calculand membrul drept, sau folosind formulele ce dau functiile trigonometrice ale sumei sau diferentei (tot calcul in membrul drept) obtinem rezultatele anuntate.

7. Probleme rezolvate

1) Calculati

R.

2) Demonstrati identitatile:

Rezolvare

a)

b)

c)

3) Simplificati fractiile:

 ; 

R.

4) Demonstrati ca:

a)  , (') x, y I [0, p]                       b)  (') x, y I [0, p/2]

Rezolvare:

a)     Inegalitatea propusa este echivalenta cu

, ambii factori fiind pozitivi, deci inegalitatea se verifica.

Analog se verifica si cea de-a doua.

Aceste inegalitati sunt de tip Jensen pentru functiile sinus si cosinus, restrictionate la [0,p], respectiv  [0, p/2].

 
5) Demonstrati ca:


                                                „n” radicali                             (') n I N*

R. Notam , n IN*

x1=1

Demonstram prin inductie ca

P(n) : xn = , n I N*

Observam ca  , (') n I N, n ≥ 2.

P(1) este o propozitie adevarata.

Presupunem P(k) adevarata ( ) si demonstram ca P(k+1) este adevarata, deci ca

.        Dar

Tinand cont ca xk > 0, obtinem , deci P(k+1) este adevarata.

6) Calculati urmatoarele sume:

a)     S1 = sin x + sin 2x + ….+ sin nx;                   c)  S3 =

b)     S2 = cos x + cos 2x + ….+ cos nx;

Rezolvare:

Observam in cazul primelor doua sume ca argumentele functiilor trigonometrice (sinus si cosinus) formeaza o progresie aritmetica de ratie r = x.

Pentru a le calcula, inmultim ambii membri cu (in general cu ).

Calculam S1, pentru ca S2 se calculeaza in mod asemanator.

c) Vom demonstra mai intai identitatea:  (*)

Membrul drept se scrie succesiv :

Conform (*), S3 = (ctg x – ctg 2x) + (ctg 2x – ctg22x) +…..+(ctg2n-1x – ctg2nx) = ctg x –ctg2nx.

7) demonstrati ca daca  a + b+ c = , atunci

Rezolvare:

, deci sin a = cos(b+c) si inegalitatea se scrie:

care este evidenta.

8.Probleme propuse

1) Calculati, scriind rezultatul sub forma de produs:                        a) sin 1050 + sin 750;

                                                                                    b) cos 750 + cos 150.

2) Verificati identitatile:

3) Sa se precizeze semnul numerelor:

            a) sin 5 + sin 4;                                   b) cos 2 + cos 4;                     c)

4)

a) Daca x = y+z, sa se arate ca: tg x + ctg y + ctg z = tgx×ctgy×ctgz

b) Daca x+y+z = p, sa se arate ca: tg x + tg y + tg z = tg x×tg y×tgz

c) Daca x+y+z= 2p , sa se arate ca: sin x + sin y + sin z = 4

5) Demonstrati ca:

1–cos2x – cos2y – cos2z + 2cosx×cosy×cosz = 4

(') x, y, z I R.

6) Calculati produsul:

7) Calculati urmatoarele sume:

a) S1=             b) S2 = cos x + cos 3x + cos 5x + ….+cos(2n-1)x.

8) Demonstrati identitatile:

a)                b) sin200×sin400×sin600×sin800 =

Solutii probleme2.3

Expresia devine

Inegalitatea de demonsrat este:

care este adevarata.

Solutii probleme propuse2.5

Solutii probleme propuse2.8

1) a) Expresia este egala cu

b) Expresia devine:  , etc…

2) Membrul stang al egalitatii este:

3) a) tg10×tg890= tg10×ctg10 = 1  =>  tg20×tg880 = tg20×ctg20 = 1  =>  tg440×tg460 = tg440×tg440 = 1  =>  tg450 = 1

b) Membrul stang este:  , iar membrul drept este:

Solutii probleme propuse3.3

1) sin150 = sin(450 – 300) = sin450×cos300 – sin300×cos450 = , analog celelalte.

2) sin1050 = sin(900 + 150) = cos(900 – 900 – 150) = cos150, etc…

3) a) sin(a+b)×sin(a-b)= (sina×cosb + sinb×cosa)(sina×cosb - sinb×cosa)= sin2a×cos2b – sin2b×cos2a =  =sin2a(1-sin2b) – sin2b(1-sin2a) = sin2a – sin2a×sin2b – sin2b + sin2a×sin2b = sin2a – sin2b

b) Analog cu a)

a + b este in cadranul II, deci a+b =

a, b, g sunt in cadranul I si toate mai mici decat p/4 (justificati)




Deoarece tg(a+b+g) > 0, rezulta ca a+b+g I (0, p/2) sau a+b+g I (p, 3p/2), ultima incadrare nefiind posibila. Ramane a+b+g = p/

8) Membrul drept al egalitatii se scrie succesiv:

(In demonstratie am folosit , care se prezinta mai tarziu, dar care se poate deduce si cu formulele utilizate pana la acest moment)

9) cosx×sin(y-z) = cox(siny×cosz - sinz×cosy) = cosx×siny×cosz - cosx×sinz×cosy

cosy×sin(z-x) = cosy×sinz×cosx - cosy×sinx×cosz

cosz×sin(x-y) = coz×sinx×cosy - cosz×siny×cosx          Prin adunare se obtine 0.

10)  a) Membrul stang este:

b) Membrul stang este:

c) Membrul stang este:

d) Membrul stang este:

11) Se poate folosi  si gasim

Solutii probleme propuse3

1) a)  sin 6x = 2sin 5x×cos x – sin 4x Û sin(5x + x) = 2sin 5x×cos x – sin 4x Û sin 5x×cosx + sinx×cos 5x - 2sin 5x×cos x = -sin 4x Û sin 5x×cos x = sin x×cos 5x + sin 4x Û sin 5x×cos x – sin x×cos 5x =

= sin 4x Û sin(5x – x) = sin 4x, evident.

b) Analog cu a).

c) Membrul stang se scrie succesiv:

2) a)

Membrul stang va fi:

b) cos2(x + y) – cos2(x – y) + sin 2x×sin 2y=

c) Membrul stang este:

d)

e) sin(a + b)×sin c + sin(b – c)×sin a = sin a×cos b×sin c +sin b×cos a×sin c + sin b×cos c×sin a – sin c×cos b×sin a = sin b(sin a×cos c + sin c×cos a) = sin b×sin (a+c).

f) Analog ca e)

g) (sin 2a + sin 4a)2 + (cos 2a + cos 4a)2 = sin2 2a + cos2 2a + sin2 4a + cos2 4a + 2(sin 4a.sin 2a +     cos 4a×cos 2a) = 2 + 2cos(4a – 2a) = 2 + 2cos 2a = 2(1+cos 2a) = 4×cos2 a.

3) a)

b)

c) Vezi exercitiul rezolvat nr. 7

d) P = cos 200×cos 400×cos 600×cos 800

e) , f) se fac calcule in membrul stang.

g)

4) a) Membrul stang se scrie astfel:

cos2 2x –2cos 2x×cos(x-y)×cos(x+y) + cos2 (x-y)×cos2(x+y) + cos2 (x-y) – cos2 (x-y)×cos2(x+y)=

=  [cos2x – cos(x-y)×cos(x+y)]2 + cos2 (x-y)×sin2(x+y) = [cos 2x – (cos x×cos y + sin x×siny)×(cos x×cosy – sin x×sin y)]2 + cos2(x-y)×sin2(x+y)= (cos 2x – cos2 x×cos2 y + sin2 x×sin2 y)2+ cos2(x-y)×sin2(x+y)= (cos2 x – cos2x× cos2y + sin2x×sin2y – sin2 x)2+ cos2(x-y)×sin2 (x+y) = (cos2 x×sin2y –

- sin2 x×cos2 y)2 + cos2 (x-y)×sin2 (x+y) = (sin x×cos y – sin y×cos x)2×(sin x×cos y + sin y×cos x)2+

+ cos2(x-y)×sin2(x+y) = sin2 (x-y)×sin2 (x+y) + cos2 (x-y)×sin2 (x+y) = sin2 (x+y).

Membrul drept este:

sin2 x + 2sin x×sin y×cos (x+y) + sin2 y×cos2 (x+y) – sin2 y×cos2 (x+y) + sin2 y =

= [sin x + sin y×cos(x+y)]2 + sin2 y×sin2 (x+y) = (sin x + sin y×cos y – sin2 y×sin x)2 + sin2y×sin2(x+y)= (sin x×cos2 y + sin y×cos x×cos y)2 + sin2 y×sin2 (x+y) =  cos2 z(sin x×cos y

+ sin y×cos x)2 + sin2 y×sin2 (x+y) = cos2 y×sin2 (x+y) + sin2 y×sin2 (x+y) = sin2 (x+y).

b) Inegalitatea este echivalenta cu:

 care este adevarata in conditiile problemei

5) Vezi exercitiul rezolvat nr. 4

6) , api se procedeaza ca la exercitiul rezolvat nr. 6. Se gaseste

Solutii  probleme propuse8

1) a) sin1050 + sin750 =

b) Analog a)

2) a)

b) 

3)

4)

5) Membrul stang este:

6)

7) a) Se cauta o descompunere a termenului general de tipul f(k) – f(k+1).

In acest sens, verificam identitatea:

sumand egalitatea, obtinem :

b) Vezi exercitiul rezolvat nr. 6)

8)  a) Se poate aplica metoda de la 7 b), adica se poate inmulti egalitatea cu  , etc….

b) P = sin200×sin400×sin600×sin800 =







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Utilizarea dezvoltarii in serie Taylor la derivarea numerica
RETELE NEURONALE FEED-FORWARD (MULTI-LAYER PERCEPTRON)
Monotonia si injectivitatea unei functii
Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice si transcendente
Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare
Triedrul lui Frenét
Functia tangenta
Gometrie analitica (clasa a XI-a)
REZOLVAREA ECUATIILOR IN NUMERE INTREGI
Observatii asupra definirii grupului