probleme de pozitie si metrice rezolvate prin rotatii

adevarata marime a triunghiului

Determinare prin orizontala planului triunghiului, (fig.1.46):

Se da triunghiul ABC(abc, a`b`c`). Se construieste orizontala planului triunghiului, intr-un plan de nivel, [N<sub>1</sub>], care trece prin punctul A(a, a`) si care se noteaza cu D(d, d`)≡AM(am, a`m`). orizontala planului triunghiului, are proiectia verticala d`≡a`m`, paralela cu linia de pamant Ox.

fig.1.46

Prima rotatie.

Prima rotatie este rotatia de nivel, care are loc in planul de nivel [N₁], cu axa de rotatie o verticala, Z₁(z₁, z₁`) si centrul de rotatie I<sub>1</sub>(i<sub>1</sub>, i<sub>1</sub>`), care este punctul de intersectie dintre axa de rotatie Z₁(z₁, z₁`) si planul de nivel [N<sub>1</sub>]. Se aduce orizontala D(d, d`)≡AM(am, a`m`), in pozitie de dreapta de capat, notata cu A₁M₁(a₁m₁, a₁`m<sub>1</sub>`). Pentru determinarea pozitiei laturilor triunghiului se utilizeaza perpendiculara I₁N(i₁n, i₁`n`). Se poate astfel determina pozitia punctului N₁(n₁, n₁`), prin tangenta din punctul exterior a<sub>1</sub>, la cercul de raza i<sub>1</sub> n, respectiv cea a punctului B<sub>1</sub>(b<sub>1</sub>, b<sub>1</sub>`), intersectia dintre cercul de raza i₁b. Pozitia punctelor M₁(m₁, m₁`) si B<sub>1</sub>(b<sub>1</sub>, b<sub>1</sub>`), determina pozitia punctului C₁(c₁, c₁`). Triunghiul ABC(abc, a`b`c`) este adus prin aceasta rotatie intr-un plan de capat si se noteaza cu A₁B₁C₁(a₁b₁c₁, a₁`b<sub>1</sub>`c₁`).

A doua rotatie.

A doua rotatie este rotatia de front, care are loc in planul de front [F₂], cu axa de rotatie o dreapta de capat, Z₂(z₂, z₂ ) si centrul de rotatie I₂(i₂, i₂ ), care este punctul de intersectie dintre axa de rotatie Z₂(z₂, z₂ ) si planul de front [F₂]. Se ia centrul de rotatie I₂(i₂, i₂ ) C₁(c₁, c₁ ). Triunghiul A₁B₁C₁(a₁b₁c₁, a₁`b<sub>1</sub>`c₁` este adus prin aceasta rotatie intr-un plan de nivel, notat cu [N<sub>2</sub>] si se noteaza cu A<sub>2</sub>B<sub>2</sub>C<sub>2</sub>(a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>c<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>`b₂`c<sub>2</sub>` Triunghiul A₂B₂C₂(a₂b₂c₂, a₂`b<sub>2</sub>`c₂`) are proiectia orizontala a₂b₂c₂ paralela cu

fig.1.47

(a₁m₁, a₁`m<sub>1</sub>` Pentru determinarea pozitiei laturilor triunghiului se utilizeaza

perpendiculara I₁N(i₁n, i₁ n ). Se poate astfel determina pozitia punctului N₁(n₁, n₁ ), prin tangenta din punctul exterior a₁, la cercul de raza i₁n, respectiv cea a punctului B₁(b₁, b₁`), intersectia dintre cercul de raza i<sub>1</sub>b. Pozitia punctelor M<sub>1</sub>(m<sub>1</sub>, m<sub>1</sub>`) si B₁(b₁, b₁`), determina pozitia punctului C<sub>1</sub>(c<sub>1</sub>, c<sub>1</sub>`). Triunghiul ABC(abc, a`b`c`) este adus prin aceasta rotatie intr-un plan de capat si se noteaza cu A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>(a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>`b₁`c<sub>1</sub>`).

A doua rotatie.

A doua rotatie este rotatia de front, care are loc in planul de front [F₂], cu axa de rotatie o dreapta de capat, Z₂(z₂, z₂ ) si centrul de rotatie I₂(i₂, i₂ ), care este punctul de intersectie dintre axa de rotatie Z₂(z₂, z₂ ) si planul de front [F₂]. Se ia centrul de rotatie I₂(i₂, i₂ ) C₁(c₁, c₁ ). Triunghiul A₁B₁C₁(a₁b₁c₁, a₁`b<sub>1</sub>`c₁` este adus prin aceasta rotatie intr-un plan de nivel, notat cu [N<sub>2</sub>] si se noteaza cu A<sub>2</sub>B<sub>2</sub>C<sub>2</sub>(a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>c<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>`b₂`c<sub>2</sub>` Triunghiul A₂B₂C₂(a₂b₂c₂, a₂`b<sub>2</sub>`c₂`) are proiectia orizontala a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>c<sub>2</sub> paralela cu planul orizontal de proiectie    si este adevarata marime a triunghiului ABC(abc, a`b`c`

Rotatiile se fac cu respectarea regulilor de la rotatia punctului si a dreptei.

Determinarea distantei dintre doua drepte paralele,(fig.1.48)

Prima rotatie:se transfor ma dreapta D(d, d`) si dreapta Δ(δ, δ`) in drepte orizontale si se noteaza cu D1(d1, d1``) Δ1(δ1, δ1`). Axa de rotatie este z1(z1, z1`). Adoua rotatie: transfor ma dreptele D1(d1, d1`) si 1 1 1`) in drepte de capat si se noteaza cu D2(d2, d2`) si 2 2 2`) Dreptele obtinute au urma verticala doua puncte, d2` 2`, distanta dintre aceste puncte fiind adevarata marime a distantei dintre dreptele

Se procedeaza ca si pentru transformarea unei drepte intr-o dreapta de capat, pentru dreapta D(d, d`). In acelasi timp se roteste si dreapta Δ(δ, δ`), utilizand aceleasi axe si centre de rotatie.

fig.1.48

paralele date.