![]() | Aeronautica | Comunicatii | Constructii | Electronica | Navigatie | Pompieri |
Tehnica mecanica |
ECUATIILE GENERALE ALE MISCARII FLUIDELOR IN FORMA INTEGRALA
In studiul miscarii fluidelor se utilizeaza urmatoarele legi:
(a) legea de conservare a masei;
(b) legea a II-a a lui Newton;
(c) legea de conservare a energiei.
In continuare vom gasi ecuatiile acestor legi, asa cum se aplica ele unui fluid in miscare, atat in forma lor integrala, cat si in forma diferentiala.
1 Ecuatia de continuitate
Sa consideram un curent de fluid ca in fig. 3-6 si, in
interiorul acestuia, un volum de control, adica un volum fix care
nu-si modifica dimensiunile si forma in timp. La momentul t, in
volumul de control desemnat prin regiunea A, se gaseste masa de fluid
. La momentul ulterior
, aceeasi masa de fluid ocupa pozitia
desenata cu linie intrerupta. Notand cu m masa de fluid continuta
in cele doua regiuni la cele doua momente de timp, putem scrie:
(3.19)
unde:
este masa de fluid
care a iesit din volumul de control in timpul
;
este masa de fluid
care a intrat din volumul de control in timpul
.
Rearanjand termenii din ecuatia (3.19) si impartind
cu , rezulta:
(3.20)
Trecand la limita pentru , membrul stang al relatiei (3.20) devine:
(3.21)
unde VC
este volumul de control marginit de suprafata de control SC care
inchide regiunea A, iar este densitatea
fluidului. Trecand la limita, membrul drept al ecuatiei (3.20) se
poate scrie:
(3.22)
Regiunea A, marginita de suprafata de control se imparte
in doua parti, respectiv suprafata prin care fluidul
intra in volumul de control si suprafata
prin care fluidul iese din volumul de control
. Prin
si
s-au notat debitele
masice de fluid prin suprafetele de intrare, respectiv iesire.
Mai departe se poate scrie:
(3.23)
Introducand (3.21) si (3.23) in (3.20), obtinem ecuatia de conservare a masei sau ecuatia de continuitate in forma integrala:
(3.24)
Interpretarea fizica a acestei ecuatii este urmatoarea: debitul masic de fluid prin suprafata de control este egal cu variatia masei de fluid din volumul de control in unitatea de timp.
In cazul miscarilor permanente si ecuatia
(3.24) devine:
(3.25)
cu urmatoarea interpretare: masa de fluid care intra in volumul de control este egala cu masa de fluid care iese din volumul de control, iar pentru fluidele incompresibile:
(3.26)
2 Teorema impulsului
Teorema impulsului este una dintre cele mai importante legi ale
dinamicii fluidelor, datorita aplicatiilor practice numeroase care
pot fi rezolvate si intelese cu ajutorul ei. Ne referim, spre
exemplu, la calculul fortelor dezvoltate de fluidele in miscare pe
peretii solizi, la fortele care actioneaza la curgerea
fluidelor prin tubulaturi, la propulsia cu reactie, la portanta
si rezistenta la inaintare ce apar la curgerea fluidului in jurul
unui profil hidrodinamic sau aerodinamic. Referindu-ne tot la fig. 3-6,
forta , care actioneaza asupra masei de fluid, este
data de legea a II-a a lui Newton:
(3.27)
unde este impulsul
rezultant al masei de fluid, iar
este variatia
impulsului rezultant in timpul
. Aceasta marime este:
Impartind aceasta ultima relatie cu si grupand termenii
convenabil, rezulta:
(3.28)
Trecand la limita in ecuatia (3.28) pentru , primul termen din membrul drept se scrie:
iar al doilea termen din membrul drept devine:
(3.29)
Termenii din membrul drept ai relatiei (3.29) au urmatoarele semnificatii fizice:
- debitul sau fluxul
de impuls prin suprafata de iesire din volumul de control;
- debitul sau fluxul
de impuls prin suprafata de intrare in volumul de control. Termenul
trebuie considerat in modul intrucat este negativ, unghiul dintre cei doi vectori
si
fiind
pe suprafata de
intrare.
Concluzionand, putem scrie teorema impulsului in forma:
(3.30)
Forta totala are doua
componente:
este componenta ce
actioneaza pe suprafata de control, fiind la randul ei suma a 2
componente (componenta de presiune si componenta de vascozitate);
este componenta
volumica datorata campului de forte masice care actioneaza
asupra lichidului din volumul de control:
Adica:
(3.31)
Este util sa precizam ca aceasta ecuatie este
valabila pentru cazul in care lichidul din volumul de control are o
miscare liniara fara acceleratie. In cazul in care
volumul de control accelereaza fara a se roti, atunci membrul
stang va contine si forta de inertie, , corespunzatoare lichidului din volumul de control.
Daca neglijam forta totala volumica si
consideram miscarea fluidului ca fiind stationara, atunci
teorema impulsului se poate scrie:
(3.32)
Mai departe, daca presupunem ca densitatea si viteza sunt constante pe suprafetele de intrare 1 si iesire 2 si tinem cont si de ecuatia de continuitate, avem:
(3.33)
unde: este debitul masic de fluid care strabate cele
doua suprafete;
sunt proiectiile
vitezei
prin suprafata de
intrare;
sunt proiectiile
vitezei
prin suprafata de
iesire;
sunt proiectiile
rezultantei fortelor exterioare care actioneaza asupra fluidului
din volumul de control.
Considerand curgerea permanenta a unui fluid printr-o
tubulatura ca in fig. 3-7, unde fluidul intra prin suprafata si iese prin
suprafetele
si
. Suprafata de control este formata din tubul de
curent, suprafata de intrare
si suprafata
de iesire
.
Ecuatia de continuitate (3.26), in acest caz, are forma:
Presupunand ca viteza fluidului este normala la toate
suprafetele si observand ca pentru suprafata de intrare
unghiul dintre vectorul viteza si versorul
este de 180 putem
scrie:
Daca densitatea si viteza sunt constante pe acestea, atunci:
Pentru o tubulatura fara ramificatii, ecuatia de continuitate devine:
Ipotezele pe care le-am utilizat in obtinerea acestor ecuatii sunt urmatoarele:
(a) curgere permanenta;
(b) distributie constanta si normala de viteze si distributie constanta de densitati pe suprafetele de intrare si iesire ale volumului de control.
3 Teorema momentului impulsului
Revenim la forma matematica a teoremei impulsului asa cum a fost prezentata in ecuatia (3.31) si anume:
Inmultind vectorial in interiorul integralelor cu vectorul de
pozitie , obtinem:
(3.34)
care reprezinta teorema momentului impulsului pentru fluidul din volumul de control.
In continuare, vom da o interpretare fizica fiecaruia din termenii ecuatiei (3.34):
este momentul rezultant
in raport cu originea tuturor fortelor distribuite pe suprafata de
control;
este momentul
rezultant in raport cu originea fortelor masice care actioneaza
asupra lichidului din volumul de control;
este variatia in
unitatea de timp a momentului cinetic (momentului impulsului) al fluidului din
volumul de control;
este fluxul sau
debitul momentului impulsului prin suprafata de control.
Membrul stang din relatia (3.34) reprezinta
momentul rezultant in raport cu originea, al tuturor fortelor exterioare
ce actioneaza asupra fluidului din volumul de control si se
noteaza cu .
Pentru cazul particular al unei miscari permanente, teorema momentului impulsului are forma:
(3.35)
Din punct de vedere fizic, produsul in modul, reprezinta debitul de fluid dQ, care
strabate suprafata elementara dA, iar
este debitul masic dM.
Ca atare, ecuatia (3.35) se poate rescrie:
(3.36)
In aplicatii intereseaza mai mult formele scalare rezultate din proiectia ecuatiei (3.36) pe diferite axe. Spre exemplu, proiectia pe directia axei x a teoremei momentului impulsului se scrie:
(3.37)
unde este momentul
fortelor exterioare pe axa x, iar:
(3.38)
(vezi fig. 3-9)
Sa presupunem ca fluidul intra in
volumul de control prin suprafata considerata ca
suprafata de intrare si iese prin suprafata
considerata
suprafata de iesire, iar pe aceste doua suprafete
distributia de viteze si presiuni este constanta. Vom defini
, date de relatiile:
Ecuatia de continuitate, in acest caz, are forma:
iar ecuatia (3.37) devine:
(3.39)
Ecuatia (3.39) se utilizeaza in stabilirea
ecuatiei fundamentale a turbomasinilor (pompe centrifuge, turbine),
cand curgerea in interiorul rotorului este permanenta si putem
presupune ca pe suprafetele cilindrice de intrare 1 si 2, si
sunt distribuite
uniform.
Sa consideram cazul unei pompe centrifuge,
care este o turbomasina ce realizeaza transferul energetic
catre fluid prin intermediul unui rotor paletat. Particulele de fluid
intra in rotor, fig. 3-10, prin suprafata cilindrica cu
raza , cu viteza
. In studiul pompelor centrifuge se utilizeaza doua
sisteme de axe: unul inertial, considerat fix, si un sistem legat de
rotor, neinertial. Raportat la sistemul inertial miscarea
fluidului este absoluta si se caracterizeaza prin viteza
absoluta
, iar miscarea raportata la sistemul
neinertial este miscarea relativa si se caracterizeaza
prin viteza relativa
. Conform algoritmului de compunere a vectorilor viteza,
pentru viteza absoluta se poate scrie:
(3.40)
unde este viteza de transport.
Viteza absoluta se compune din viteza
periferica
si viteza
relativa
, care este tangenta la primul element al paletei.
Aplicand ecuatia (3.39) pentru fiecare din cele doua cazuri putem scrie:
pentru pompa: (3.41)
pentru turbina: (3.42)
4 Energia. Conservarea energiei
Forma matematica a primului principiu al termodinamicii, aplicat unui sistem termodinamic este prezentat in ecuatia urmatoare:
(3.43)
unde: Q - caldura schimbata de sistem cu exteriorul;
L - lucrul mecanic efectuat;
- variatia
energiei sistemului.
Facem conventia de a considera pozitive lucrul mecanic si caldura primite de sistem si negative cele cedate de sistem in exterior.
Ne propunem sa determinam forma matematica a ecuatiei de conservare a energiei (3.43) pentru "sistemul de fluid" dintr-un volum de control.
Caldura schimbata Q si lucrul mecanic efectuat L presupun interactiunea sistemului cu mediul exterior. Energia sistemului este asociata cu masa acestuia si poate fi descompusa in trei parti:
unde: U - energia interna, asociata cu miscarea moleculara;
- energia
cinetica;
mgz - energia potentiala, asociata cu pozitia fata de suprafata pamantului.
Pentru o masa unitara de fluid, ecuaia (3.43) se scrie:
(3.44)
unde:
Sa ne referim in continuare la fig. 3-12, unde am
considerat o masa de fluid care, la momentul t, ocupa domeniul A
marcat cu linie continua (volumul de control), iar in timpul s-a deplasat ocupand
pozitia desenata cu linie discontinua.
Principiul conservarii energiei pentru aceasta situatie este urmatorul
unde este energia pe care o
are masa de fluid la momentul
si
este energia
initiala a aceleiasi mase de fluid. Impartind cu
, gasim:
(3.45)
In continuare, vom dezvolta membrul drept al ecuatiei (3.45), observand ca:
Ca atare:
Daca , primul termen din membrul drept se poate scrie:
Din punct de vedere fizic termenul reprezinta
variatia in raport cu timpul energiei continuta in volumul de
control.
Al doilea termen din membrul drept poate fi scris sub forma:
In relatia anterioara semnificatia fizica a termenilor este urmatoarea:
- fluxul sau debitul
de energie prin suprafata de iesire din volumul de control;
- fluxul sau debitul
de energie prin suprafata de intrare in volumul de control.
De aceea avem:
(3.46)
si trecand la limita in ecuatia (3.45) pentru , obtinem:
(3.47)
Lucrul mecanic poarte fi efectuat de actiunea eforturilor normale si tangentiale pe suprafata de control. Daca ne referim la lucrul mecanic efectuat de tensiunile normale (presiunea hidrostatica) de pe suprafata de control, vom observa ca:
(3.48)
pentru ca intr-o comprimare lucrul mecanic primit este pozitiv, iar variatia de volum este negativa si mai departe:
sau intr-o alta forma:
(3.49)
Ecuatia (3.47) devine:
(3.50)
unde:
- fluxul de lucru
mecanic efectuat de sistem, cu exceptia aceluia datorat actiunii
presiunii.
Ecuatia (3.50) ne spune ca fluxul de caldura schimbat de fluid plus lucrul mecanic efectuat de sistem (altul decat lucrul mecanic al fortelor de presiune) este egal cu variatia in unitatea de timp a energiei fluidului din volumul de control plus fluxul de energie prin suprafata de control.
Sa aplicam ecuatia energiei la curgerea
unidimensionala prezentata in fig. 3-13. Am figurat cu linie
discontinua suprafata de control care inchide volumul de control
caruia ii aplicam ecuatia energiei asa cum este
prezentata in relatia (3.50). Se mai observa ca exista
o suprafata de intrare in volumul de control si o
suprafata de iesire din volumul de control
. Mai admitem ipoteza ca distributia de densitati,
viteze si, implicit, presiuni, pe aceste suprafete este constanta
valorile acestora, fiind
, respectiv
. In acest context, pentru cazul prezentat observam
ca
, deoarece miscarea este permanenta si:
iar ecuatia de continuitate este:
- debitul masic de
fluid
care, substituita in ecuatia energiei, ne da:
(3.51)
Scriind ecuatia (3.51) pentru o masa unitara de lichid, obtinem:
(3.52)
Presupunand fluidul incompresibil si rearanjand termenii, ecuatia (3.52) se poate scrie:
(3.53)
unde este pierderea de
sarcina hidraulica datorita transformarii energiei
hidraulice in caldura.
In general, termenul se refera la
lucrul mecanic al fortelor de vascozitate, care actioneaza pe
suprafata de control, care este negativ, intrucat se opune
deplasarii, prin urmare
si ecuatia
(3.53) capata forma finala:
(3.54)
unde este sarcina
hidraulica disipata (pierduta) de fluid pe drumul de la
sectiunea de intrare
spre sectiunea de
iesire
. Sarcina hidraulica disipata are doua
componente:
- sarcina
hidraulica disipata, datorita transformarii energiei
hidraulice in caldura;
- sarcina
hidraulica disipata, datorita actiunii fortelor de vascozitate.
In cazul curgerii unui lichid ideal, ecuatia de conservare a energiei devine:
(3.55)
caz in care si ecuatia
obtinuta este identica cu ecuatia lui Bernoulli pe care o
vom descoperi mai tarziu.
Daca in ecuatia (3.55) inmultim in
ambii membri cu debitul masic care strabate
suprafata de intrare egal (conform ecuatiei de continuitate) cu
debitul masic care strabate suprafata de iesire, obtinem:
(3.56)
si putem observa doua lucruri importante:
energia hidraulica are trei componente esentiale cu urmatoarele semnificatii de ordin fizic:
- energia
potentiala de presiune;
- energia cinetica;
- energia
potentiala de pozitie;
Suma acestor energii este constanta, chiar daca au valori diferite pe suprafetele de intrare, respectiv iesire.
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate