Serii numerice

Serii numerice

Definitie Fie un sir de numere reale .Vom putea considera atunci un nou sir si anume , unde

numit sirul sumelor partiale asociat sirului . Perechea formata din sirurile si se numeste serie de termen general (a_n) si se noteaza . O serie se numeste convergenta daca sirul sumelor partiale este convergent. O serie care nu este convergenta se numeste divergenta. In cazul in care seria este convergenta se defineste suma serie ca fiind , acest numar fiind notat tot cu .

Exemplu Sa se calculeze suma seriei:

1.

2.

Solutie: 1) Atunci:

Deci S_n= si astfel seria este convergenta si are suma 1.

2) Atunci:

Deci si astfel seria este convergenta si are suma -lg2.

Propozitie Fie . Seria se numeste serie geometrica de ratie r. Ea este convergenta daca si numai daca si in acest caz seria este

Demonstratie: pentru si atunci exista daca si numai daca . Daca r = 1 atunci s_n = n+1 si deci seria este divergenta.

Exemplu Sa se studieze natura seriei:

Solutie: Aceasta este seria geometrica . Avem , deci seria este convergenta.