Operatii algebrice cu functii

Operatii algebrice cu functii.

Definitie: Fie A, B  R. O functie f: A  B se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala.

Definitie(Operatii cu functii):

a) Functia (f+g): A  R definita prin (f+g) (x) = f (x) + g (x),  x  A, se numeste suma dintre functia f si functia g.

b) Functia (f*g) A R definita prin (f*g ) (x) = f (x) * g(x), x A, se numeste produsul dintre functia f si functia g.

c) Functia ( A - R definita prin ( ) (x) = x A, g (x) 0 se numeste catul dintre functia f si functia g.

Definitie:

a) Se defineste produsul dintre un numar real si o functie f : A R, ca fiind functia f : A R, (f) (x) = f(x), x A.

b) Daca f : A R, atunci definim diferenta dintre functia f si functia g ca fiind functia f - g : A R, (f - g ) (x) = f(x) - g (x), x A. De fapt, diferenta f - g    este suma f + (-g), unde -g = (-1) g.

Exemplu: Fie f, g : R R, f(x) = 3x+1, g(x) = - x +3.    Atunci f + g, f- g, f*g : R R sunt definite astfel:

f + g )(x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 - x +3 = 2x + 4.

f - g)(x) = f(x) - g(x) = 3x+1 -x + 3 = 4x - 2.   

f*g)(x) = f(x)*g(x) = (3x + 1)(-x + 1) = -3x²+2x+1.

Proprietati ale adunarii functiilor

Fie F (A, R) multimea tuturor functiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc:

Teorema: Pentru operatia de adunare pe F (A, R) au loc proprietatile:

f +g) + h = f + (g + h), f, g, h F (A, R) (adunarea functiilor este asociativa);

f + g = g + f  f, g F(A, R) (adunarea functiilor este comutativa);

exista functia 0 F (A, R), 0(x) = 0, x A astfel incat f f f f F(A, R) (0 se numeste functie nula si este element neutru pentru adunarea functiilor);

f F (A, R), f F (A, R) astfel incat f f f f = 0 ( orice functie f are o opusa (-f

Proprietati ale inmultirii functiilor.

Teorema: Pentru operatia de inmultire pe F (A, R), au loc proprietatile:

(f * g) * h = f    * (g * h), f, g, h F (A, R) (inmultirea functiilor este asociativa);

f* g = g * f , f, g F (A, R) (inmultirea functiilor este comutativa);

exista functia 1 F (A, R), 1(x) = 1, x A astfel incat f * 1 = 1 * f = f

f F (A, R) (1     se numeste functia unitate pe multimea A ).

Propozitie: Inmultirea este distributiva in raport cu adunarea pe F(A, R), adica:

f * (g + h) =fg + f h,  f, g, h F (A, R).