Matricea unei aplicatii liniare. Schimbarea sa la schimbarea bazelor

Matricea unei aplicatii liniare. Schimbarea sa la schimbarea bazelor

Aplicatii liniare intre spatii finit dimensionale

Fie o aplicatie liniara intre doua spatii vectoriale finit generate peste acelasi corp comutativ K. Daca este o baza in V si o baza in V' atunci vectorii: sunt in si deci se scriu, in mod unic, ca niste combinatii liniare de vectorii :

S-a format astfel o matrice:

numita matricea aplicatiei liniare f in raport cu bazele din V si din . Aceasta matrice se alcatuieste plasand pe coloane coordonatele vectorilor in baza .

Folosind matricea A, relatiile vectoriale care exprima vectorii in functie de vectorii se pot scrie sub forma matriceala:

.

Matricea A este la randul ei determinata de cele doua baze.

Propozitie

Daca

;

,

atunci

Demonstratie

Scazand membru cu membru cele doua relatii rezulta:

,

unde 0 din membrul stang inseamna matricea linie formata cu m vectori, toti egali cu vectorul nul din spatiul . Notand elementul generic al matricei putem scrie:

.

Din liniar independenta vectorilor rezulta ca: adica prima coloana a matricei este nula. La fel se arata ca si celelalte coloane ale matricei sunt nule si in consecinta . Q.E.D.

Utilitatea matricei unei aplicatii liniare

Fie coordonatele cunoscute ale vectorului x din V si ne propunem sa aflam coordonatele ale vectorului din folosind matricea A.

Din liniaritatea functiei f rezulta:

Pe de alta parte,.

Din unicitatea scrierii vectorului ca o combinatie liniara de vectorii bazei se obtine:

.

Asadar, coloana coordonatelor vectorului se obtine prin inmultirea matricei A cu coloana coordonatelor lui x.

Observatii

1. Rezultatul obtinut mai sus are urmatoarea semnificatie: este suficient sa cunoastem imaginile ale vectorilor bazei, pentru ca sa putem deduce imaginile prin f ale tuturor vectorilor din V. Intr-adevar, cunoasterea matricei A inseamna cunoasterea vectorilor.

2. In paragraful anterior am mentionat ca multimea a aplicatiilor liniare de la V la are o structura de spatiu vectorial peste corpul K. Asociind fiecarei aplicatii liniare o matrice de tip se defineste o functie de la spatiul la spatiul al matricelor de tip formate cu elemente din corpul comutativ K.

Este usor de verificat ca aceasta aplicatie este liniara: sumei ii corespunde suma a matricelor corespunzatoare, iar aplicatiei ii corespunde produsul dintre scalarul si matricea A corespunzatoare lui f.

Observatia anterioara atesta ca aceasta aplicatie este injectiva: nu pot exista doua aplicatii liniare definite de aceeasi matrice din moment ce matricea determina aplicatia liniara care a definit-o.

Dar aceasta aplicatie este si surjectiva deoarece oricare ar fi matricea A, de tip , relatia :

,

defineste o aplicatie liniara de la V la .

Asadar spatiul este izomorf cu spatiul .

In cazul obtinem ca algebra este izomorfa cu algebra a matricelor patratice de ordinul n.

Formula de schimbarea a matricei unei aplicatii lineare
la schimbarea bazelor

Din felul cum a fost construita matricea A, ea depinde de bazele din V si din . Mai mult, propozitia anterioara afirma ca matricea A este chiar determinata de aceste baze. Ne propunem sa aflam ce devine matricea A atunci cand se schimba bazele.

Fie o noua baza in V si o noua baza in . Sa notam T matricea de trecere de la baza la baza si S matricea de trecere de la baza la baza . Sa mai notam cu B matricea aplicatiei liniare f in raport cu bazele din V si din V'. Din definitiile matricelor T, S, A si B rezulta relatiile:

Notam . Prin aceasta notatie precizam ca aplicarea functiei f unei matrice (linie) formate din vectori inseamna aplicarea functiei f vectorilor acestei matrice. Avem:

.

Sa remarcam mai departe ca vectorii matricei linie sunt combinatii liniare de vectorii . Cand se aplica functia liniara f acestor combinatii liniare, ea se aplica numai vectorilor acestor combinatii liniare, deci:

Asadar,

Dar deoarece, din propozitia demonstrata mai sus, rezulta ca:

.

Formula de transformare a matricei unui operator liniare
la schimbarea bazei

Daca atunci, asa cum am precizat in paragraful anterior, morfismul f se numeste endomorfism. El poarta numele specific de operator liniar in cazul spatiilor vectoriale.

In cazul cand f este operator liniar (deci ) se ia, fireste, aceeasi baza in V atat in rol de domeniu de definitie al functiei f cat si in rol de codomeniu. Asadar, si in consecinta .

Ca urmare formula de transformare a matricei unui operator liniar al unui spatiu vectorial atunci cand se schimba baza spatiului, devine:

.

Scrierea formulelor sub forma concentrata

Fie un operator liniar al spatiului vectorial V si o baza in V. Notam elementul generic al matricei A a operatorului f in baza .

Coordonatele unui vector x in aceasta baza le notam , adica:

,

potrivit conventiei conform careia, daca se repeta un indice, unul superior si altul inferior, atunci se intelege sumarea dupa acel indice.

Relatia matriceala: A se scrie sub forma concentrata astfel:

.

Daca este o noua baza notam elementul generic al matricei B a operatorului f in aceasta noua baza, adica:

.

Notam elementul generic al matricei T, respectiv , in care T este matricea de trecere de la baza la baza adica:

.

Rezulta: . Pe de alta parte, . Din unicitatea scrierii vectorului ca o combinatie liniara de vectorii bazei rezulta ca pentru orice indici i si l este indeplinita egalitatea:

,

care reprezinta tocmai forma concentrata a relatiei matriceale .