ALGEBRA

Operatii cu numere reale

Puteri naturale ale numerelor reale

(+a)ⁿ = +aⁿ

(-a)²ⁿ = +a²ⁿ

(-a)²ⁿ⁺¹ = -a²ⁿ⁺¹

a^m aⁿ = a^m+n

a^m:aⁿ = a^m-n, a

a^m b^m=(a b)^m

a^m:b^m = , b

8. , a

9.(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m;

10. a⁰ = 1, a

11. 0ⁿ = 0, n 0, nIN.

Identitati fundamentale

Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,cIR si nIN, avem:

a² - b² = (a - b)(a + b); 4ab = (a + b)² - (a - b)²;

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²);

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²);

Radicali. Proprietati

;

;

;

;

;

16.R;

, daca si numai daca A² - B = C²;

21.Expresia conjugata a lui este iar pentru este

Ecuatii si inecuatii de gradul intai

Ecuatii de gradul intai sau ecuatii afine

ax + b = 0, a,b,xIR

Semnul functiei afine f:R R, f(x) = ax + b, a

Graficul functiei de gradul intai va fi o dreapta.

Modului unui numar real

Proprietati: x,yIR, avem:

1. ;

2. ;

sau ;

R;

;

;

.

Ecuatii si functii de gradul al II-lea

Ecuatii de gradul al doilea

ax² + bx + c = 0, a,b,cIR, a

Formule de rezolvare D > 0

, , D = b² - 4ac;

Formule utile in studiul ecuatiei de gradul al II-lea:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = S² - 2P

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = S³ - 2SP

x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁ + x₂)⁴ - 2x₁²x₂²= S⁴ - 4S²P + 2P²

3. Semnul functiei f:R R, f(x) = ax² + bx + c, a,b,cIR

D > 0: a 0, x₁ < x₂.

D

D < 0

4. Graficul functiei f:R R, f(x) = ax² + bx + c, a,b,cIR este o parabola. Aceasta functie se poate scrie si sub forma , numita forma canonica.

Varful parabolei: V

Maximul sau minimul functiei de gradul al doilea

Daca a > 0, functia f(x) = ax² + bx + c are un minim egal cu , minim ce se realizeaza pentru x =

Daca a < 0, functia f(x) = ax² + bx + c are un maxim egal cu , maxim ce se realizeaza pentru x =

Descompunerea trinomului f(x) = aX² + bX + c, a,b,cIR, a x₁ si x₂ fiind radacinile trinomului.

D > 0, f(x) = a(X - x₁)(X - x₂);

D = 0, f(x) = a(X - x₁)²;

D < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX² + bX + c

Construirea unei ecuatii de gradul al doilea cand se cunosc suma si produsul radacinilor ei: x² - Sx + P = 0, cu S = x₁ + x₂ si P = x₁x₂.

Ecuatii algebrice de gradul III, IV si V

Ecuatia reciproca de gradul al treilea

ax³ + bx² bx a = 0, a,bIR, a

Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuatiei (x 1)[ax² + (b + a) + a] = 0

Ecuatia reciproca de gradul al patrulea

ax⁴ bx³ + cx² bx + a = 0, a,b,cIR, a

Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuatii de gradul al doilea, prin substitutia y = x + : a(x² + b(x + ) + c = 0 sau ay² + by + c - 2a= 0.

Ecuatia bipatrata

ax⁴ + bx² + c = 0, a,b,cIR, a

Cu x = y², rezulta ecuatia ay² + by + c = 0, deci

Logaritmi

Definitia .Fie aIR^*_+, a 1 si bIR^*₊ doua numere reale. Se numeste logaritm al numarului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numarul a, numit baza, pentru a obtine numarul b.

Logaritmul numarului b in baza a se noteaza log_ab

Evident . Pentru a = 10 obtinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obtinem logaritmi naturali.

Proprietati:

log_ab = log_ac b = c, (b,c > 0);

log_aa = 1;

log_a1 = 0

log_aa^c = c; log_a=- log_ab; log_ax²ⁿ = 2n log_a x , x

;

log_ab log_ba = 1;

Formula de schimbare a bazei logaritmului:

x>0 si y>0 T log_axy = log_ax + log_ay;

x>0 si y>0 T log_a = log_ax - log_ay; colog_ax = - log_ay

a>1 si xI T log_ax < 0; a>1 si x>1 T log_ax > 0;

0<a<1 si xI T log_ax > 0; 0<a<1 si x>1T log_ax < 0;

a>1 si 0<x<y T log_ax < log_ay;

x>0, a>0, a 1, nIN T log_ax = log_ax^n;

xIR, a>0, a T a^x = e^xlna.

Analiza combinatorie

Permutari

Definitia O multime impreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale este o multime ordonata si se notaza (a₁,a₂, . ,a_n).

Definitia XII.1.2. Se numesc permutari ale unei multimi A cu n elemente toate multimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numarul permutarilora n elemente, nIN*, este P_n=1 n = n!; 0! = 1 (prin definitie).

Factoriale (proprietati): n! = (n - 1)!n; n! =

Aranjamente

Definitia Se numesc aranjamente a n elemente luate cate m (m n) ale unei multimi A cu n elemente, toate submultimile ordonate cu cate m elemente care se pot forma din cele n elemente ale multimii A. Se noteaza A^m_n.

Numarul aranjamentelor a n elemente luate cate m este:

A^m_n = n(n - 1) . (n - m + 1) = , n m.

Proprietati: Aⁿ_n = P_n; Aⁿ_n = sau Aⁿ_n= n!;

Combinari

Definitia. Se numesc combinari a n elemente luate cate m (m n) ale unei multimi A cu n elemente toate submultimile cu cate m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale multimii A. Se noteaza

Proprietati:

;

;

Numarul submultimilor unei multimi cu n elemente este 2ⁿ;

;

Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Daca S_p = 1^p + 2^p + . + n^p, pIN, atunci avem:

Progresii

Progresii aritmetice

Definitia . Se numeste progresie aritmetica un sir de numere a₁,a₂,a₃, . ,a_n, . in care fiecare termen, incepand cu a₂, se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant numit ratia progresiei. Se noteaza a₁,a₂,a₃, . a_n, .

Daca a₁ este primul termen, a_n cel de-al n-lea termen (termenul general), r ratia, n numarul termenilor si S_n suma celor n termeni, atunci avem:

a_n = a_n-1 + r, n 2 (prin definitie)

a_n = a₁ + (n - 1)r, n 2 (prin definitie)

S_n = a₁ + a₂ + . + a_n, S_n =

Conditia necesara si suficienta pentru ca trei termeni a,b,c, luate in aceasta ordine, sa formeze o progresie aritmetica, este sa avem 2b = a + c.

Progresii geometrice

Definitia . Se numeste progresie geometrica un sir de numere a₁,a₂,a₃, . ,a_n, . in care fiecare termen, incepand cu a₂, se obtine din cel precedent prin inmultirea acestuia cu un acelasi numar q (q 0) numit ratie. Se noteaza a₁,a₂,a₃, . a_n, .

Daca a₁ este primul termen, a_n cel de-al n-lea termen (termenul general), q ratia, n numarul termenilor si S_n suma celor n termeni, atunci avem:

a_n = qa_n-1, n 2 (prin definitie)

a_n = a₁q^n-1, n 2 (a_n in functie de a₁, q si n)

S_n = a₁ + a₂ + . + a_n, S_n =

S_n =

Conditia necesara si suficienta ca trei numere a,b,c, luate in aceasta ordine, sa formeze o progresie geometrica este sa avem b² = ac.

Polinoame

Forma algebrica a unui polinom

fIC[x] este f = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + a₂X^n-2 + . + a_n, unde n este gradul, a₀ - coeficientul dominant, a_n - termenul liber.

Functia polinomiala asociata lui fIC[x] este :C C a) = f(a aIC; f(a) fiind valoarea polinomului f in a

Teorema impartirii cu rest: f,gIC[x], g 0 exista polinoamele unice q,rIC[x] astfel incat f = gq + r, grad r < grad g.

Impartirea unui polinom cu X-a: Restul impartirii polinomului fIC[x], f 0 la X-a este f(a).

Schema lui Horner: ne ajuta sa aflam catul q = b₀X^n-1 + b₁X^n-2 + . + b_n-1 al impartirii polinomului f = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + a₂X^n-2 + . + a_n la binomul X-a; precum si restul acestei impartiri r = f(a);

Divizibilitatea polinoamelor

Definitia . Fie f,gIC[x], spunem ca g divide pe f si notam g f daca qIC[x] astfel incat f=gq

Radacinile polinoamelor

Definitia. Numarul aIC se numeste radacina a polinomului f daca si numai daca a

Teorema lui Bezout: Numarul aIC este radacina a polinomului f (X-a) f.

Definitia. Numarul a se numeste radacina multipla de ordinul p a polinomului f 0 daca si numai daca (X-a) f iar (X-a)^p+1 nu-l divide pe f

Teorema: Daca fIC[x] este un polinom de gradul n si x₁,x₂,x₃, . ,x_n sunt radacinile lui cu ordinele de multiplicitate m₁,m₂,m₃, . ,m_n atunci unde a₀ este coeficientul dominant al lui f, iar m₁ + m₂ + . + m_n = grad f.

Ecuatii algebrice

Definitia . O ecuatie de forma f(x) = 0 unde f 0 este un polinom, se numeste ecuatie algebrica.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuatiile algebrice de grad mai mare decat patru nu se pot rezolva prin radicali.

Teorema lui D'Alambert-Gauss: Orice ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu unu, are cel putin o radacina (complexa).

Formulele lui Viete: Daca numerele x₁,x₂, . ,x_n sunt radacinile polinomului fIC[x], f = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + . + a_n, a₀ 0 atunci:

pentru polinomul de gradul II avem (f = aX² + bX +c) :

pentru polinomul de gradul III avem( f = aX³ + bX² +cX+d) :

pentru polinomul de gradul IV avem( f = aX⁴ + bX³ + cX²+dX+e) :

Polinoame cu coeficienti din R, Q, Z

Teorema: Daca fIR[x] admite pe a = a + ib, b 0 ca radacina atunci el admite ca radacina si pe a = a - ib, iar a si a au acelasi ordin, de mutiplicitate.

Teorema: Daca un polinom fIQ[x] admite pe a = a + b (a,bIQ, b 0, dIRQ) ca radacina, atunci el admite si pe = a - b, iar a si a au acelasi ordin, de mutiplicitate.

Teorema: Daca un polinom fIZ[x], grad f 1, admite o radacina a = IQ, (p,q) = 1 atunci p a_n si q a₀.

In particular daca fIZ[x] are radacina a=pIZ atunci p a_n.

Matrici, determinanti

Matrici

Definitia Fie M = si N = . O aplicatie A:MxN C A(i,j)=a_ij se numeste matrice de tipul (m,n): cu m linii si n coloane:

si notam M_m,n(C) multimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe.

Definitia Daca m=n atunci matricea se numeste patratica de ordinul n, iar multimea lor se noteaza M_n(C).

Definitia Doua matrici A,BIM_m,n(C) sunt egale daca si numai daca a_ij = b_ij (i,j)IMxN.

Determinanti

Determinantul de ordinul 2:

Determinantul de ordinul 3:

Inversa unei matrici

Fie AIM_n(C), daca det A 0 exista A^-1IM_n(C) astfel incat AA^-1 = I_n, I_nIM_n(C), I_n - matricea unitate:

Sisteme lineare

Notatii:

a_ij - coeficienti, x_I - necunoscute, b_i - termeni liberi;

(S), m - ecuatii, n - necunoscute;

r - rangul matricii A = rangul sistemului

Compatibilitatea

Sistemul (S) este compatibil determinat daca:

r = m = n (sistem de tip Cramer) si det A = D 0, atunci x_I = , unde

r = n < m si rang = r.

Sistemul (S) este incompatibil daca r min (m,n) si rang = r + 1.

Structuri algebrice

Monoid

Fie (M,*), MxM M, (x,y) x*y, M-nevida.

Axiomele monoidului:

M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zIM (asociativitatea);

M2. eIM astfel incat x*e = e*x = x xIM (e element neutru);

daca M3. x*y = y*x, x,yIM monidul este comutativ.

Grup

Fie (G,*), GxG G, (x,y) x*y, G-nevida.

Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zIG(asociativitatea);

G2. eIG astfel incat x*e = e*x = x xIG (e element neutru);

G3. xIG x'IG astfel incat x'*x = x*x' = e (x' simetricul lui x);

daca G4. x*y = y*x, x,yIG grupul este comutativ (sau abelian).

Fie grupurile (G₁, ), (G₂,D

Definitia f:G₁ G₂ se numeste morfism de grupuri daca f(x y)=f(x)Df(y), x,yIG₁.

Definitia f:G₁ G₂ se numeste izomorfism de grupuri daca f este bijectiva si f(x y)=f(x)Df(y), x,yIG₁.

Definitia f:G₁ G₂ se numeste automorfism (endomorfism) al grupului G₁, daca f este un izomorfism (morfism).

Inel

Fie (A,+, ), AxA A, (x,y) x+y si AxA A, (x,y) x y, A nevida;

Definitia . (A,+, ) este inel daca:

G. (A,+) este grup abelian;

M. (A, ) este monoid si

D. este distributiva fata de +:

x (y+z) = x y + y z

(y+z) x = y x + y z, x,y,zIA

daca C. x y = y x x,yIA, inelul este comutativ.

Fie inelele (A, ,*) si (A',D,o):

Definitia . f:A A' se numeste izomorfism de inele daca f este bijectiva si f(x y) = f(x)Df(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yIA.

Definitia . (A,+, ) este inel fara divizori ai lui zero daca x 0, y 0 implica x y

Definitia . Un inel comutativ cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu integritate.

Definitia . Daca (A,+, ) este inel, atunci (A[X],+ ) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienti in A

fIA[X], f = a₀ + a₁X + a₂X² + . + a_nXⁿ este forma algebrica a unui polinom de nedeterminata X cu coeficienti in A:

daca a_n 0, grad f = n (a_n - coeficient dominant);

daca a₀ = a₁ = . = a_n, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -

Proprietati 1. grad (f+g) max;

2. grad f g grad f + grad g.

Teorema. Daca A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate si grad f g = grad f + grad g, f,gIA[X]

Corp

Fie (K,+, ), KxK K, (x,y) x+y si KxK k, (x,y) x y, K - nevida.

Definitia XVII.4.1. (K,+, ) este corp daca (K,+, ) este inel, 0 1 si xIK, x T x^-1IK, astfel incat x x = x^-1 x = 1

Daca x y = y x x,yIK, corpul este comutativ.

Definitia XVII.4.2. Fie corpurile (K, ,*) si (K',D,o), f:K K' este izomorfism de corpuri daca f este bijectiva, f(x y) = f(x) D f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yIR.

Teorema impartirii cu rest in multimea K[X], K corp comutativ si gIK[X], g fIK[X], exista polinoamele q,rIK[X], unic determinate astfel incat f = q g+r, grad r < grad g.

GEOMETRIE SI TRIGONOMETRIE

Notatii:

lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b;

= p (p - semiperimetrul triunghiului ABC);

A_ABC - aria triunghiului ABC, notata si S;

R - raza cercului circumscris unui poligon;

r - raza cercului inscris intr-un poligon;

P - perimetrul poligonului;

Triunghiul

Observatii:

Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersectie al mediatoarelor;

Centrul cercului inscris intr-un triunghi este punctul de intersectie al bisectoarelor;

Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersectie al medianelor.

Ortocentrul triunghiului este punctul de intersectie al inaltimilor.

Relatii metrice in triunghi

Triunghiul dreptunghic

ABC (m( A) = 90 , AD BC)

Teorema lui Pitagora: a² = b² + c²;

Teorema catetei: b² = a CD, c² = a BD;

Teorema inaltimii: =BD×DC;

;

;

Triunghiul echilateral ABC (a = b = c)

;

Triunghiul oarecare ABC (AD BC)

Teorema lui Pitagora generalizata:

a)       b² = a² + c² - 2a BD, daca m( B)<90

b)       b² = a² + c² + 2a BD, daca m( B)>90

;

;

;

.

Relatii exprimate prin functii trigonometrice

Teorema sinusurilor: ;

Teorema cosinusului: ;

;

Poligoane regulate inscrise in cercul de raza R

Triunghiul echilateral: ;

Patratul: ;

Hexagonul regulat: ;

Functii trigonometrice

Definitii in triunghiul dreptunghic

C

^{b a}

A ^c B

Proprietatile functiilor trigonometrice

sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kp) = sin x, (kIZ)

cos(-x) = cos x, cos (x + 2kp) = cos x, (kIZ)

tg(-x) = -tg x

tg(x+kp) = tg x, (kIZ)

ctg(-x) = -ctg x

ctg(x + kp) = ctg x, (kIZ

Formule trigonometrice

Relatii intre functiile trigonometrice ale unui argument:

;

,

;

,

;

;

Formule pentru multiplii de argument:

Inversarea functiilor trigonometrice

arcsin (-x) = - arcsin x

arcos (-x) = p - arcos x

arctg (-x) = -arctg x

arctg (-x) = p - arctg x

Tabele de valori:

Elemente de geometrie analitica

Segmente

Distanta dintre doua puncte A(x₁,y₁), B(x₂,y₂): AB =

Panta dreptei AB:

Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:

Coordonatele punctului M care imparte segmentul (AB) in raportul k:

Ecuatia dreptei

Drepte paralele cu axele de coordonate:

(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)

3. Ecuatia explicita: y =mx + n (mIR*, nIR, m - panta, n - ordonata la origine);

4. Ecuatia prin taieturi:

Ecuatia dreptei de panta m, prin punctul M_o(x_o,y_o): y - y_o = m(x - x_o), (m

Ecuatia dreptei determinata de punctele A(x₁,y₂), B(x₂,y₂):

sau

Ecuatia generala: ax + by + c = 0;

Aria triunghiului ABC (A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃)): A_ABC = , unde

, daca D = 0 atunci A, B, C sunt colineare

Pozitia relativa a dreptelor (d₁) si (d₂):

si

d₁ = d₂, daca

d₁ d₂, daca

d₁ d₂ si d₁ d₂ , daca

Distanta de la punctul M_o(x_o,y_o) la dreapta (h): ax + by + c = 0

Unghiul a determinat de dreptele:

si

d₁ d₂, daca m₁m₂ = -1

ANALIZA MATEMATICA

Limite de functii

Limite tip

, ;

4.

, , daca a > 1;

, , daca 0 < a < 1;

si daca a > 1;

si daca 0 < a < 1;

6.,

,

,

7. ,

,

,

,

, ;

8. , , , ;

9.

,

.

Continuitatea functiilor

Definitia II.4.1. Fie f:D R, x_oID, x_o - punct de acumulare a lui D, f este continua in x_o, daca , x_o se numeste punct de continuitate.

Functii derivabile

Definitia derivatei intr-un punct

f:E R, x_oIE, x_o - punct de acumulare a lui E:

f'(x₀) =

f_s'(x₀) = , f_d'(x₀) =

f'(x₀) = f_s'(x₀) = f_d'(x₀)

Interpretarea geometrica:

daca f'(x₀)IR, y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀) este ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul A(x₀,f(x₀));

daca f este continua in x₀, f_d'(x₀) = + , f_s'(x₀) = - , sau invers, x₀ este punct de intoarcere al graficului;

daca f este continua in x₀ si exista derivatele laterale in x₀, cel putin una fiind finita, dar f nu este derivabila in x₀, x₀ este punct unghiular al graficului.

Reguli de derivare

f,g:E R, f,g derivabile in xIE:

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x);

(cf)'(x) = cf'(x), cIR;

(f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

daca g(x) ;

daca f:I J, g:J R, f derivabila in x₀II si g derivabila in y₀ = f(x₀), atunci (gof)'(x₀) = g'(y₀)f'(x₀);

Derivatele functiilor elementare

Derivata functiilor compuse

Asimptote

Asimptote orizontale (f:D R)

Definitia. Daca sau , l₁,l₂IR, dreptele y=l₁ si y=l₂ sunt asimptote orizontale a lui f spre + , respectiv -

Asimptote oblice (f:D R)

Definitia Daca si dreapta y = mx + n este asimptota oblica a lui f spre

Definitia Daca si dreapta y = m'x + n' este asimptota oblica a lui f spre

Asimptote verticale (f:D R)

Definitia Daca a - punct de acumulare a lui D, dreapta x=a este asimptota verticala la stanga a lui f

Definitia Daca a - punct de acumulare a lui D, dreapta x=a este asimptota verticala la dreapta a lui f

Primitive

(integrale nedefinite)

Definitia . Fie functia f:J R, J - interval, F:J R este primitiva lui f, daca F este derivabila pe J si F'(x) = f(x), xIJ

Se noteaza:

Proprietati ale primitivelor:

;

;

.

Tabel de primitive: (I - interval, I R)

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Primitivele functiilor rationale

;

;

;

;

.

Integrale definite

Se noteaza:

Proprietati ale integralei definite:

;

;

;

.

Formula lui Leibniz-Newton:

(F - primitiva a lui f)

Teorema de medie:

Daca f continua pe [a,b], atunci xI[a,b] astfel incat:

Formula de integrare prin parti:

[a,b], atunci

Aplicatii ale integralei definite

Aria subgraficului G_f, f:[a,b] R₊, f continua:

aria

Aria subgraficului G_f,g, f,g:[a,b] R si f(x) g(x) xI[a,b]

aria

Volumul corpurilor de rotatie, f:[a,b] R₊, f continua:

3. Lungimea graficului f:[a,b] R₊, f derivabila cu derivata continua:

4. Aria suprafetelor de rotatie: