STUDIUL MISCARII PUNCTULUI MATERIAL IN DIFERITE SISTEME DE REFERINTA

GENERALITATI

Pentru aplicatii practice este necesar sa se cunoasca ecuatiile traiectoriei precum si proiectiile vitezei pe axele diferitelor sisteme de coordonate : cartezian , cilindric , intrinsec (Frenet).

SISTEMUL DE COORDONATE CARTEZIENE

a) Ecuatiile traiectoriei

Intr-un sistem de coordonate carteziene , vectorul de pozitie OM al punctului material este definit la un moment dat prin coordonatele x,y,z, pe care le are punctul material M pe traiectoria ( T ) (fig.1) .Functia

r=r(t)    ( 1)

reprezinta ecuatia vectoriala a traiectoriei punctului material .

Coordonatele puncului material M variaza in timp , deci sunt niste functii de timp de forma :

x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) (2 )

Ecuatiile ( 2 ) definesc parametrii traiectoriei ( T ) a punctului material M , deci sunt Fig.1

denumite ecuatii parametrice ale traiectoriei .

Prin eliminarea parametrului scalar t din ecuatiile ( 2 ) se obtine ecuatia traiectoriei sub forma implicita :

f₁(x,y,z)=0 ; f₂ =(x,y,z)=0 ( 3 )

Relatiile ( 3) definesc doua suprafete in spatiu , la intersectia carora se gaseste traiectoria punctului material .

b) Viteza

Viteza punctului material se obtine derivand vectorul de pozitie :

reprezinta proiectiile vectorului viteza pe axele sistemului cartezian.Modulul vectorului viteza este dat de relatia :

( 5 )

c)Acceleratia

Expresia acceleratiei se obtine derivand expresia vectorului viteza sau derivand de doua ori expresia vectorului de pozitie al punctului material M.

( 6 )

reprezinta proiectiile vectorului acceleratie pe axele sistemului de referinta cartezian . Modulul vectorului acceleratie este dat de expresia :

(7)

SISTEMUL DE CORDONATE POLARE

In cazul in care punctul material se deplaseaza pe o traiectorie plana , pentru a defini pozitia sa la un moment dat se poate utiliza sistemul de cordonate polare . Reperul este format dintr-un punct O numit pol si axa Ox numita axa polara . Coordonatele punctului material la un moment dat sunt :

raza polara r=OM

unghiul polar è pe care raza polara il face cu axa Ox ( fig.2 )

Fig.2

Ecuatiile traiectoriei

Pentru a se cunoaste la un moment dat pozitia punctului material pe traiectoria (T) este necesar a se cunoaste functiile r si q in functie de timp :

r=r(t) ; q q(t) ( 8 )

Ecuatiile ( 8 ) reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei .Prin eliminarea parametrului t rezulta ecuatia traiectoriei sub forma implicita :

f(r,q

sau sub forma explicita :

r=f₁(q ( 10 )

b) Viteza

Pentru determinarea vitezei si acceleratiei trebuie sa se stabileasca directiile pe care se proiecteaza acestea .Pentru aceasta se considera ca raza polara ramine constanta OM si variaza unghiul q in primul caz . In acest caz , punctul material descrie un arc de cerc de rezA OM =r .Se alege ca directie tangenta la acest arc de cerc dusa in punctul M .Pe directia respectiva se aleg versorul u_q cu originea in punctul O si sensul de crestere al unghiului q ( fig.2.b ) .

Se considera apoi ca unghiul polar è ramine constant iar raza polara r variaza.In aceste conditii punctul M descrie dreapta OM care reprezinta o directie pe care se proiecteaza viteza si acceleratia .Pe aceasta directie se alege versorul u_g cu sensul de crestere al razei vectoare ( fig.2.b ).

Deci versorii u_g , u_q vor fi permanent ortogonali , si deoarece punctul material M se deplaseaza , ei vor fi vectori de directie variabila .Rezulta ca axele pe care se proiecteaza viteza si acceleratia in sistemul de coordonate polare sunt mobile .Deci derivatele versorilor considerati sunt diferite de zero .Pentru a calcula aceste derivate se vor exprima versorii in functie de proiectiile lor pe axele Oxy de versori i, j :

Sau :

Derivind in raport cu timpul si avind in vedere ca :

rezulta

( 12 )

Derivata unui vector variabil care are modulul constant si directia variabila in timp este un vector perpendicular pe vectorul dat .In acest caz vectorul derivat u_g este perpendicular pe u_g fiind orientat in sensul rotirii acestui versor in timpul miscarii punctului material .Vectorul derivat u_è este paralel cu versorul u_g dar orientat in sens opus .

Vectorul de pozitie al punctului material M se exprima in raport cu versorul u_g :

Viteza punctului material M se obtine derivand expresia vectorului de pozitie r:

( 13 )

Notand componentele vitezei in sistemul de coordonate polare :

Acestea sunt perpendiculare intre ele , deci modulul vitezei va fi :

(14)

c) Acceleratia

Expresia accelereatiei se obtine derivand in raport cu timpul relatia vitezei ( 13 ) :

( 15 )

Deci componentele acceleratiei :

( 16 )

si modulul :

( 17 )

SISTEMUL DE COORDONATE CILINDRICE

In sistemul de coordonate cilindrice , pozitia punctului material este definita prin raza polara r , unghiul polar è si cota z .

Fig.3

a)Ecuatiile traiectoriei

Miscarea punctului material este cunoscuta daca se cunosc functiile :

(18)

Relatiile ( 18 ) reprezinta ecuatiile parametrice ale traiectoriei .Prin eliminarea parametrului t se obtine ecuatia traiectoriei sub forma implicita :

( 19 )

b) Viteza

Se introduc versorii : k - al axei Oz , u_r al razei polare r=OM'si versorul u_è (continut in planul xOy ) perpendicular pe u_q si orientat in sensul cresterii unghiului q

Deoarece versorul K este constant , derivata lui este nula , iar ale celorlalti doi versori sunt cele determinate anterior .

Vectorul de pozitie r al punctului material M este :

( 20 )

Viteza punctului material se obtine prin derivarea expresiei ( 20 )

( 21 )

deci componentele vitezei sunt :

si modulul :

c) Acceleratia    Expresia acceleratiei se obtine derivand relatia (21)

( 23 )

deci componentele acceleratiei sunt

si modulul :

Observatie

Daca punctul material se misca in planul xOy atunci z=0 =constant si deci derivatele intai si a doua sunt nule . Daca se introduc in expresiile vitezei si acceleratiei se obtin expresiile vitezei si acceleratiile miscarii in coordonate polare .

Cu k=numarul de ordine din grupa , g =numarul grupei sa se completeze urmatoarele tabele:

TABELUL 1

Observatie: modulele vitezei si acceleratiei se vor determina la momentul t=k[s]

TABELUL 2

Pentru punctele din sistemul cartezian sa se determine coordonatele in sistem cilindric

la momentul t=k [s]:

TABELUL 3

Pentru coordonatele carteziene ale punctelor din plan , calculati coordonatele polare si determinati vitezele si acceleratiile la momentul t=k [s]: