Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme

Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
» Polinomul Taylor asociat unei functii


Polinomul Taylor asociat unei functii



Polinomul Taylor asociat unei functii

Consideram functia  si , oarecare, dar fixat. Presupunem ca  functia este de clasa  intr-o vecinatate . Atunci polinomul

       ,  .         (7.1)

se numeste polinomul Taylor[1] de grad  asociat functiei  in punctul .

De exemplu, daca  este un polinom de gradul , atunci polinomul Taylor asociat lui  are gradul  si reprezinta dezvoltarea polinomului  dupa puterile lui . Avem

                     .                    (7.2)

Vom observa ca  si .

Formula lui Taylor in care dezvoltarea se face dupa puterile lui  (), adica are loc reprezentarea

                                    ,                                  (7.3)

este numita  formula lui MacLaurin[2].

In particular, consideram polinomul . Se cere sa se dezvolte dupa puterile lui . Fie , , functia polinomiala asociata lui . Avem

 ;

;

;

.

Polinomul Taylor de gradul al treilea asociat functiei polinomiale  are forma

                                         .                                       (7.4)

Exercitii.

(1). Fie . Sa se dezvolte dupa puterile lui .

(2). Sa se scrie polinomul Taylor de gradul al treilea asociat lui , in punctul .

(3). Sa se scrie polinomul Taylor de gradul al patrulea asociat functiei, in .

(4). Fie . Sa se scrie polinomul Taylor de gradul  asociat functiei  in .

(5).  Sa se scrie polinomul Taylor de gradul  asociat functiei , in punctul .

(6). Sa se calculeze  si  stiind ca  este functie polinomiala de gradul al patrulea determinata de conditiile: ; ;  si .

Formula lui Taylor pentru functii de o variabila reala

Fie  un interval inchis, nedegenerat in  si functia  care verifica conditiile:

1).  (exista derivatele pana la ordinul  inclusiv si acestea sunt functii continue pe );

2).  exista  (derivata de ordinul  a lui ), finita sau infinita, in orice punct din ;

Atunci exista  astfel incat

           ,         (7.5)

unde  reprezinta restul care se obtine, in punctul , cand inlocuim valoarea  cu valoarea  a  polinomului Taylor de grad  asociat lui .

Mai mult, restul poate fi scris sub una din formele:

a)  restul sub forma lui Lagrange,

                                .                                       (7.6)

b)        restul sub forma lui Cauchy,

                                               (7.7)

c)         restul sub forma integrala,

                                              .                                            (7.8)

Demonstratie. Alegem restul sub forma , unde  este o constanta care va depinde de alegerea lui , iar  oarecare. Atunci problema se reduce la determinarea constantei  a.i.

                                          .                                         

Consideram functia , definita pentru orice  prin relatia

           .

Vom observa ca functia  este continua pe  deoarece functia initiala  a fost presupusa de clasa   pe . In plus, pentru  din formula () obtinem  si pentru  deducem . Functia  este derivabila pe intervalul deschis  deoarece  a fost presupusa de clasa pe . In consecinta, functia  satisface conditiile teoremei lui Rolle pe intervalul . Asadar, exista un punct , a.i. . Alegem cu .

 Avem

.

Dupa reducerea termenilor asemenea, rezulta

.

Deoarece , din ultima relatie, pentru , obtinem

.

Deci,  si atunci gasim urmatoarea expresie a restului[3]

                    , cu .                  (7.9)

Vom observa ca restul obtinut depinde de , unde  este un numar natural oarecare.

Daca alegem  atunci din ultima relatie obtinem restul sub forma lui Lagrange (7.6), iar pentru  obtinem restul sub forma lui Cauchy (7.7).

Observatie. Presupunand ca , atunci restul sub forma lui Lagrange devine

,

unde

,

cand . Aici am folosit faptul ca  este functie continua si atunci

,  cand .

In consecinta, daca  atunci

                            , cand .                        (7.10)

Formula (7.10) este cunoscuta sub numele de formula lui Taylor corespunzatoare lui  in punctul  cu restul sub forma lui Peano[4].

In continuare vom arata ca restul formulei lui Taylor poate fi scris sub forma integrala (7.8), adica are loc formula

                                 .                              

Pentra aceasta folosim inductia matematica dupa .

Pentru  obtinem formula  care evident este adevarata.

Presupunem ca formula este adevarata pentru , atunci putem scrie

                         .

Integrand prin parti expresia restului, obtinem

.

Asadar, avem

                              ,

de unde deducem ca formula ramane adevarata si pentru pasul , deci relatia  este adevarata pentru orice .

Observatie. Formula lui Taylor ramane adevarata daca ,  un interval nedegenerat si  este de derivabila intr-un punct  deoarece prin aceasta conditie intelegem ca  este de derivabila intr-o vecinatate  a punctului  si   si exista derivata de ordinul  in .

Observatie. Formula lui Taylor cu restul sub forma integrala are numeroase aplicatii. De exemplu, in cazul functiilor suficient de netede, aceasta formula serveste la evaluarea restului in formulele de cuadratura numerica (integrare numerica).

Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea functiilor elementare.

1.      Fie . Deoarece  putem scrie

unde .

In consecinta, formula lui Taylor scrisa dupa puterile lui  (dezvoltarea are loc in jurul punctului ), corespunzatoare functiei , cu restul lui Lagrange se scrie

                                  ,                              (7.11)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                                        .                                         (7.12)

si putem scrie extimarile:

a)  pentru orice , avem .

b)  pentru orice , avem .

2.      Fie , . In acest caz  si avem

,

In consecinta, formula lui Taylor dupa puterile lui  (in polinomul Taylor apar numai puterile pare ale lui ) poate fi scrisa astfel

           ,       (7.13)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                         .                          (7.14)

Putem scrie extimarea.

3.      Fie , . Atunci  si avem

,  

Atunci putem scrie formula lui Taylor dupa puterile lui  (in dezvoltare apar numai puterile impare ale lui )

      ,   (7.15)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                          .                           (7.16)

Din formula (7.16) deducem evaluarea.

4.      Fie . Atunci  si pentru orice  avem

Atunci formula lui Taylor dupa puterile lui  devine

         ,         (7.17)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                              .                                   (7.18)

Daca  din formula (7.18) obtinem. Daca  atunci nu putem trage concluzii despre modul cum restul tinde catre zero deoarece alegerea lui  depinde atat de  cat si de . Folosind restul sub forma lui Cauchy,

                               ,                                (7.19)

pe baza inegalitatilor inegalitatile , respectiv , putem scrie evaluarea

                         .

Daca , atunci formula lui Taylor poate fi scrisa dar restul nu tinde catre zero cand .

Observatie. Daca in formula (7.17)  schimbam  cu  si cerem ca  obtinem dezvoltarea functiei  dupa puterile lui :

                  ,              (7.17')

5.      Fie functia .

a)      Analizam cazul cand . Atunci functia  este bine definita

pentru orice  si admite derivate de orice ordin pe . Cum derivata de ordinul  este identic nula deducem ca  si avem

Atunci pentru dezvoltarea functiei folosim binomul lui Newton

                ,  pentru orice .            (7.20)

b)      Pentru cazul cand  nu este numar natural, atunci functia  este bine definita,

impreuna cu toate derivatele sale de orice ordin, pentru orice . Asadar, pentru  putem scrie formulele

si formula lui Taylor, scrisa in jurul punctului , devine

, (7.21)

unde restul sub forma lui Lagrange are expresia

                    .                     (7.22)

Daca  si  atunci restul tinde la zero cand . In cazul cand , folosind restul sub forma lui Cauchy

             .              (7.23)

deducem ca restul tinde la zero cand . Pentru  restul nu tinde catre zero cand .

8. Serii Taylor

Fie functia  si , oarecare, dar fixat. Presupunem ca  functia  este indefinit derivabila intr-o vecinatate  (functia  admite derivate de orice ordin intr-o vecinatatea  a punctului ). Atunci putem scrie formal seria Taylor asociata  functiei  in punctul

          ,  .            (8.1)

sau seria de puteri a lui  dupa puterile lui . Pentru valori fixate ale lui  si  seria poate fi convergenta sau divergenta.. In cazul cand seria Taylor asociata functiei  este convergenta atunci suma seriei este egala cu .

Seria Taylor este convergenta catre functia  daca si numai daca restul formulei lui Taylor

                                   ,  ,                                 (8.2)

tinde la zero cand . Altfel spus, daca , atunci din (8.2) rezulta ca sirul sumelor partiale

                                                                                                      (8.3)

converge uniform catre  pentru  orice si reciproc (vezi, siruri de functii).

In acest caz vom spune ca seria Taylor este convergenta avand suma  si vom scrie

               .              (8.4)

Toate functiile analizate in exemplele  sunt dezvoltabile in serie Taylor dupa puterile lui  (sau, dezvoltabile in serie in jurul punctului ) si avem:

                                    .                                  (8.5)

                          .                         (8.6)

                        .                      (8.7)

                        .                       (8.8)

   ,.  (8.9)

Exercitiul 1. Sa se dezvolte in serie Taylor in jurul punctului  functia .

Indicatie. Fie . Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale lui  folosim

identitatea:   . Deducem  si ,

In consecinta, obtinem seria Taylor

.

Formula lui Taylor poate fi utilizata la calculul „elegant” al unor limite de functii, in cazurile de nedeterminare de tipul etc..

Exemple.

1). .

2).

3).            .

4). Calculati integrala  cu o precizie mai mica decat . Avem

5). .

6). Calculati limitele   (i). (ii)..

(iii). ;          (iv).  .

Observatie. Exista functii de clasa  pe  care nu sunt dezvoltabile in serie Taylor.

De exemplu, functia , definita prin , unde  sunt polinoame, , este de clasa  pe , insa nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului .

Demonstratie. Aratam ca este functie continua pe . Intr-adevar, prin definitie, functia  este continua pentru . In punctul  putem scrie

  si  .

Deci  este continua pe  si .

Aratam ca  si  Intr-adevar, pentru  avem

,

unde  sunt polinoame,  si .

Daca  atunci . Asadar, derivata in  exista si este egala cu zero. Rezulta ca  este diferentiabila pe  si derivata  are aceeasi forma cu . Prin recurenta deducem ca  este diferentiabila si are aceeasi forma cu , deci  si avem .

Analog se arata ca functia   este de clasa  pe  si nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului .

9. Extreme libere. Maxime si minime relative

Definitie. Fie  un spatiu metric si . Punctul  se numeste punct de maxim relativ pentru  (sau, functia  are in punctul  un maxim relativ) daca exista o vecinatate ,  a.i. .

In aceleasi conditii ca mai sus, punctul  se numeste punct de minim relativ pentru  (sau functia  are in punctul   un minim relativ) daca exista o vecinatate ,  a.i. .

Daca proprietatile din definitie au loc pentru orice , atunci punctul  se numeste extrem absolut (global) care poate fi un maxim absolut, respectiv un minim absolut.

Teorema lui Fermat[5]. Fie  un interval deschis si , . Daca  este punct de extrem local pentru  (maxim sau minim local) si  este diferentiabila in , atunci .

Demonstratie. Vom presupune ca  este punct de maxim local. Atunci exista o vecinatate  in , a.i. pentru orice . Deoarece  este diferentiabila in , rezulta ca exista  si deci,

 si   .

Cum,  si , atunci, datorita egalitatii anterioare, deducem .

Observatie. Conditia  este o conditie necesara ca  sa fie un punct de extrem local, dar in general nu este si suficienta. De exemplu, fie functia . Atunci  derivabila pe  si  desi  nu este punct de extrem local.

Teorema. Fie  si . Presupunem ca exista intervalul  a.i. ,  diferentiabila pe  si  iar . Atunci  este punct de maxim local pentru .

 (Enuntati teorema in cazul cand punctul  este minim local).

Demonstratie. Deoarece  pe , atunci . Din relatia  pe , rezulta ca .

 In concluzie, avem  care arata ca  este un maxim local pentru .

Teorema lui Cauchy. Fie  un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului),  si , avand proprietatile:

i)            functiile  sunt diferentiabile in ;

ii)          ;

iii)        ;

atunci exista o vecinatate ,  continuta in , a.i.  si avem

.

Demonstratie. Fie  si  (in cazul cand , atunci luam). Daca  si , atunci putem scrie , deci exista o vecinatate  a lui  continuta in  a.i. pentru orice  sa avem . Cum , rezulta ca . Avem

.

Exemplu. Consideram functile   si   .

Atunci ,  este functie diferentiabila pe  si , iar  este diferentiabila in  si . Asadar, conditiile teoremei lui Cauchy sunt verificate si avem

.

Lema. Fie  un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului), ,  o functie de  diferentiabila in , . Atunci exista  a.i. functia  este continua in ,  si sa avem egalitatea:

      ,        (9.1)

pentru orice .

Demonstratie. Definim functia

Aratam ca  este functie continua in , adica .

Pentru  avem . Aplicand teorema lui Cauchy, deducem, pentru , ca .

Pentru  avem     .

Se verifica, relativ usor, ca functiile care apar in acest raport satisfac conditiile teoremei lui l'Hospital si deci, exista limita  si avem  .

Pentru calculul acestei limite vom observa ca sunt indeplinite conditiile teoremei lui Cauchy. Atunci, deducem

.

In cazul general, aplicand de  teorema lui l´Hospital, deducem

.

Apoi, aplicand teorema lui Cauchy, obtinem , deci functia  este continua in .

Teorema. Fie  un interval deschis, ,  o functie de  diferentiabila in ,  si , iar . Atunci

1). Daca  este numar par, atunci  este punct de extrem local  pentru  si avem:

                       i). daca , atunci  este punct de maxim local;

                       ii). daca , atunci  este punct de minim local.

2). Daca  este numar impar si , atunci  nu este punct de extrem local pentru .

Demonstratie. Conform lemei, exista ,  functie continua in , , a.i.

oricare ar fi .

Consideram functia , . Din felul cum a fost definita functia  este continua in  si . Presupunem , atunci exista o vecinatate  care este continuta in , a.i. .

Fie  numar par. Atunci , deci  pentru orice  si  este punct de minim local pentru .

Fie  numar impar. Deoarece s-a admis ca , atunci avem   si din relatia , rezulta ca diferenta  nu pastreaza semn constant. In adevar, deoarece  pentru  putem considera situatia  si atunci avem , iar pentru  si , avem .

Exerctiul 1. Aratati ca functia  are un minim local in punctul .

Solutie. Determinam punctele critice ale lui (acestea sunt radacinile ecuatiei ). Avem  si deci,  este singurul punct critic. Incercam sa vedem, cu ajutorul derivatei de ordinul al doilea, daca acest punct critic este un extrem local. Avem  si deci .

In acest caz nu putem preciza natura punctului critic  si de aceea, studiem semnul derivatei de ordin minim, care nu se anuleaza in acest punct. Asadar, calculam derivatele de ordin superior. Obtinem  . Prin urmare, in punctul critic  avem:

 si ,

deci,  punctul critic  este un punct de minim local.

Exerctiul 2. Determinati punctele de extrem local si valorile extreme ale functiei

.

Solutie.  Punctele critice ale lui  sunt radacinile ecuatiei . Avem . Deci, si  sunt singurele puncte critice. Fie . Deoarece  rezulta ca  este punct de minim local si valoarea minima a lui  este . In punctul critic avem  si nu putem decide natura acestui punct critic. Observam ca , deci punctul  nu este extrem local. Acesta este punct de inflexiune (vezi fig. 1)

Figura 1.



[1] Brook Taylor (1685-1731), matematician englez, membru al Royal Society din Londra. In lucrarea „Methodus incrementorum directa et inversa” (1715) expune metoda dezvoltarii in serie a unei functii. A pus, pentru prima data, problema coardei vibrante, de la care ulterior Fourier a ajuns la seriile trigonometrice.

[2]  Colin  MacLaurin (1698-1746), matematician scotian. Numele sau este legat de calculul infinitesimal si in special de dezvoltarea functilor in serii de puteri.

[3]  Aceasta expresie se numeste restul sub forma lui Schlömilch . O.X. Schlömilch (1823-1901), matematician german.

[4]  Giuseppe Peano (1858-1932), logician si matematician italian. Profesor la Academia regala de artilerie si geniu si la Universitatea din Torino. In lucrarile sale a dat o prezentare axiomatica si deductiva a aritmeticii, geometriei proiective, teoriei multimilor etc.. Considera primul exemplu de curba continua, in sensul lui Jordan, care trece prin toate punctele interioare unui patrat.

[5]  Pierre Fermat (1601-1665), matematician francez (autodidact). A facut studii de drept, a fost Consilier al Parlamentului din Toulouse. Creator al geometriei analitice (ca si Descartes) si al calculului probabilitatilor (alaturi de Pascal). A enuntat in 1637 formula celebra: ecuatia  nu are solutii intregi pentru  (cunoscuta sub numele de „ Marea Teorema a lui Fermat”). Demonstratia acestei celebre teoreme a fost data in 1995 de matematicianul englez Andrew Wiles, profesor la Universitatea din Princeton.



Matematica


Statistica

FUNCTIA RADICAL
FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE ARCULUI DUBLU
MULTIMI
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Metoda tangentelor (Newton)
Functii monotone
Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara
ALGORITMI SI ERORI DE CALCUL
Notiunea de functie
A doua forma fundamentala a unei suprafete











 
Copyright © 2014 - Toate drepturile rezervate