Home - Rasfoiesc.com
Educatie Sanatate Inginerie Business Familie Hobby Legal
Doar rabdarea si perseverenta in invatare aduce rezultate bune. stiinta, numere naturale, teoreme, multimi, calcule, ecuatii, sisteme


Biologie Chimie Didactica Fizica Geografie Informatica
Istorie Literatura Matematica Psihologie

Matematica


Index » educatie » Matematica
Matricea unei aplicatii liniare. Schimbarea sa la schimbarea bazelor


Matricea unei aplicatii liniare. Schimbarea sa la schimbarea bazelor




Matricea unei aplicatii liniare.Schimbarea sa la schimbarea bazelor

Aplicatii liniare intre spatii finit dimensionale

Fie o aplicatie liniara intre doua spatii vectoriale finit generate peste acelasi corp comutativ K. Daca este o baza in V si o baza in V' atunci vectorii: sunt in si deci se scriu, in mod unic, ca niste combinatii liniare de vectorii :




S-a format astfel o matrice:

numita matricea aplicatiei liniarefin raport cu bazele din V si din . Aceasta matrice se alcatuieste plasand pe coloane coordonatele vectorilor in baza .

Folosind matricea A, relatiile vectoriale care exprima vectorii infunctie de vectorii se pot scrie sub forma matriceala:

.

MatriceaA este la randul ei determinata de cele doua baze.

Propozitie

Daca

;

,

atunci

Demonstratie

Scazand membru cu membru cele doua relatii rezulta:

,

unde 0 din membrul stang inseamna matricea linie formata cu m vectori, toti egali cu vectorul nul din spatiul . Notand elementul generic al matricei putem scrie:

.

Din liniar independenta vectorilor rezulta ca: adica prima coloana a matricei este nula. La fel se arata ca si celelalte coloane ale matricei sunt nule si in consecinta .Q.E.D.

Utilitatea matricei unei aplicatii liniare

Fie coordonatele cunoscute ale vectorului x din V si ne propunem sa aflam coordonatele ale vectorului din folosind matricea A.

Din liniaritatea functieifrezulta:

Pe de alta parte,.

Din unicitatea scrierii vectorului ca o combinatie liniara de vectorii bazei se obtine:

.

Asadar, coloana coordonatelor vectorului se obtine prin inmultirea matricei A cu coloana coordonatelor lui x.

Observatii

1. Rezultatul obtinut mai sus are urmatoarea semnificatie: este suficient sa cunoastem imaginile ale vectorilor bazei, pentru ca sa putem deduce imaginile prin f ale tuturor vectorilor din V. Intr-adevar, cunoasterea matricei A inseamna cunoasterea vectorilor.

2. In paragraful anterior am mentionat ca multimea a aplicatiilor liniare de la V la are o structura de spatiu vectorial peste corpul K. Asociind fiecarei aplicatii liniare o matrice de tip se defineste o functie de la spatiul la spatiul al matricelor de tip formate cu elemente din corpul comutativ K.

Este usor de verificat ca aceasta aplicatie este liniara: sumei ii corespunde suma a matricelor corespunzatoare, iar aplicatiei ii corespunde produsul dintre scalarul si matricea A corespunzatoare lui f.

Observatia anterioara atesta ca aceasta aplicatie este injectiva: nu pot exista doua aplicatii liniare definite de aceeasi matrice din moment ce matricea determina aplicatia liniara care a definit-o.

Dar aceasta aplicatie este si surjectiva deoarece oricare ar fi matricea A, de tip , relatia :

,

defineste o aplicatie liniara de la V la .

Asadar spatiul este izomorf cu spatiul .

In cazul obtinem ca algebra este izomorfa cu algebra a matricelor patratice de ordinul n.




Formula de schimbarea a matricei unei aplicatii lineare
la schimbarea bazelor

Din felul cum a fost construita matricea A, ea depinde de bazele din V si din . Mai mult, propozitia anterioara afirma ca matricea A este chiar determinata de aceste baze. Ne propunem sa aflam ce devine matriceaA atunci cand se schimba bazele.

Fie o noua baza in V si o noua baza in . Sa notam T matricea de trecere de la bazala baza siS matricea de trecere de la baza la baza . Sa mai notam cu B matricea aplicatiei liniare fin raport cu bazele din V si din V'. Din definitiile matricelor T, S, A si B rezulta relatiile:

Notam . Prin aceasta notatie precizam ca aplicarea functiei f unei matrice (linie) formate din vectori inseamna aplicarea functiei f vectorilor acestei matrice.Avem:

.

Sa remarcam mai departe ca vectorii matricei linie sunt combinatii liniare de vectorii . Cand se aplica functia liniara f acestor combinatii liniare, ea se aplica numai vectorilor acestor combinatii liniare, deci:

Asadar,

Dar deoarece, din propozitia demonstrata mai sus, rezulta ca:

.

Formula de transformare a matricei unui operator liniare
la schimbarea bazei

Daca atunci, asa cum am precizat in paragraful anterior, morfismul f se numeste endomorfism. El poarta numele specific de operator liniar in cazul spatiilor vectoriale.

In cazul cand f este operator liniar (deci ) se ia, fireste, aceeasi baza in V atat in rol de domeniu de definitie al functiei f cat si in rol de codomeniu. Asadar, si in consecinta .

Ca urmare formula de transformare a matricei unui operator liniar al unui spatiu vectorial atunci cand se schimba baza spatiului, devine:

.

Scrierea formulelor sub forma concentrata

Fie un operator liniar al spatiului vectorial V si o baza in V. Notam elementul generic al matricei A a operatoruluifin baza .

Coordonatele unui vector x in aceasta baza le notam , adica:

,

potrivit conventiei conform careia, daca se repeta un indice, unul superior si altul inferior, atunci se intelege sumarea dupa acel indice.

Relatiamatriceala: A se scrie sub forma concentrata astfel:

.

Daca este o noua baza notam elementul generic al matricei B a operatorului f in aceasta noua baza, adica:

.

Notam elementul generic al matricei T, respectiv , in care T este matricea de trecere de la baza la baza adica:

.

Rezulta: . Pe de alta parte, . Din unicitatea scrierii vectorului ca o combinatie liniara de vectorii bazei rezulta ca pentru orice indici i si l este indeplinita egalitatea:

,

care reprezinta tocmai forma concentrata a relatiei matriceale .







Politica de confidentialitate


Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate

Matematica


Statistica


Functii periodice
Polinomul de interpolare Lagrange
Functii marginite
Aplicatii liniare
Ecuatii de recurenta liniara de ordinul intai
Referat la Matematica - Polinoame cu coeficienti complecsi
OPERATII CU FRACTII
Ecuatia caracteristica
Relatii binare intre multimi
Proprietatile logaritmilor