Elemente de calcul vectorial

I.1.     Elemente introductive

Calculul vectorial foloseste reperul tri-ortogonal cartezian drept. Reper drept este reperul la care, rotind in sens direct trigonometric planul in jurul axei , axa ajunge in pozitia initiala a axei dupa un unghi de .

Clasificarea vectorilor:

a)      legati (exemplu: momentul fortei in raport cu un pol), sunt caracterizati prin modul, directie, sens si punct de aplicatie;

b)      alunecatori (exemplu: forta pe dreapta suport), sunt caracterizati prin modul, directie si sens;

c)      liberi caracterizati prin: modul, sens si o directie paralela cu o directie data.

Expresia analitica a unui vector:

in care sunt proiectiile vectorului pe sistemul de referinta.

Modulul vectorului:

I.2.     Operatii cu vectori

I.2.1.        Relatii binare

Adunarea (compunere) se face cu:

regula paralelogramului (Fig. I.1 - a)

regula triunghiului (Fig. I.1- b)

(rezultanta vectorilor) (I. )

Scaderea (Fig. I.2)

(I. )

Daca si , atunci:

(I. )

Inmultirea unui scalar cu un vector - rezultatul este tot un vector

(I. )

Directia: are aceeasi directie cu

Sensul lui :daca are acelasi sens cu

are sens opus lui

Marimea:

Versor este un vector unitate pe o directie orientata (Fig. I.3).

Expresia analitica a versorului: raportul intre expresia analitica     a vectorului si modulului sau.

Descompunerea vectorilor dupa doua directii in plan (Fig. I.4) se face cu regula paralelogramului:

(I. )

descompunerea vectorilor dupa trei directii in spatiu (Fig. I.5)

(I. )

produsul scalar (Fig. I. )

(I. )

Proprietati

comutativitate: ;

conditia de ortogonalitate: , rezulta ca produsul scalar este zero;

conditia de paralelism: , rezulta ca produsul scalar este egal cu produsul modulelor vectorilor;

distributivitate

Produsul scalar al versorilor

etc. (I. )

Daca

produsul scalar este:

(I. )

Modulul unui vector

(I. )

Proiectia unui vector pe o axa se obtine inmultind vectorul cu versorul axei (Fig. I.7).

(I. )

Produs vectorial:

Marimea produsului vectorial este aria paralelogramului construit cu cei doi vectori ca laturi (Fig. I.8).

, (I. )

Proprietati

anticomutativitatea

distributivitatea:

Expresia analitica

Produsul vectorial se efectueaza fie inmultind termen cu termen, tinand cont de regula de inmultire a versorilor fie cu ajutorul determinantului.

Produsul vectorial al versorilor:

, ,

(I. )

(I. )

I.2.2.        Relatii ternare

Produs mixt

(I. )

(I. )

Produs dublu vectorial

Produsul dublu vectorial se poate dezvolta fie efectuand pe rand produsele vectoriale,

(I. )

fie folosind relatia:

(I. )

Aplicatii:

1) Ecuatia vectoriala a dreptei (Fig. I.

2) Conditia ca un vector sa fie perpendicular pe un plan (Fig. I.10) (pe o dreapta): produsul scalar intre vectorul normal si un vector din plan sa fie zero.

Fig. I.

I.3.     Exemplu de calcul vectorial

Fie vectorii .

Sa se calculeze: versorii vectorilor , suma , diferenta , produsul scalar , produsul vectorial , produsul dublu vectorial si produsul mixt . Sa se determine unghiul dintre vectorii si , valoarea proiectiei vectorului pe si a lui pe . Sa se reprezinte toti trei vectorii cu originea O in sistemul cartezian.

Rezolvare

Expresia analitica a unui vector este egala cu expresia analitica a versorului lui inmultita cu modului vectorului, .

Rezulta expresia analitica a versorului:

Se calculeaza suma vectoriala insumand termenii asemenea:

Diferenta vectorilor se obtine prin scaderea termenilor asemenea:

Produsul scalar al vectorilor, este:

Produsul vectorial ,

Produsul dublu vectorial se poate dezvolta fie efectuand pe rand produsele vectoriale, fie folosind relatia:

Produsul mixt :

Unghiul dintre vectorii si se determina din relatia produsului scalar:

Marimea proiectiei vectorului pe vectorul este egala cu produsul scalar intre vectorul si versorul vectorului :

Proiectia vectorului pe vectorul :

Reprezentarea vectorilor pe un reper cartezian cu originea in O (Fig. I. ):

I.4.     Probleme de rezolvat

Fie vectorii conform tabelului 1.1

Sa se calculeze:

1. versorii vectorilor: ;
2. suma vectoriala ;
3. diferenta vectorilor ;
4. produsul scalar al vectorilor ,
5. produsul vectorial ;
6. produsul dublu vectorial ;
7. produsul mixt ;
8. unghiul dintre vectorii si ;
9. valoarea proiectiei vectorului pe directia lui si a vectorului pe directia lui ;
10. sa se reprezinte toti trei vectorii cu originea O in sistemul cartezian.

Tabel I.1