Siruri - Limite de functii

I. Siruri

Def.1. Se numeste sir de numere reale orice functie , unde A este o submultime finita a lui N.

Def.2. Un sir este marginit .

-Un sir care nu este marginit se numeste sir nemarginit.

Def.3. Un sir este strict crescator (crescator)

Un sir este strict descrescator (descrescator)

Def.4. O multime V se numeste vecinatate a lui daca exista .

Def.5. Un numar real x este limita unui sir daca orice vecinatate a lui x contine toti termenii sirului, exceptand un numar finit de tremeni ai sai.

Def.6.

-Produsul dintre un sir marginit si un sir convergent la zero este un sir convergent la zero.

. Fie ,, trei siruri ce satisfac conditiile:

1)

2)

Atunci are aceeasi limita a.

. Orice sir monoton si marginit este convergent.

Dreapta incheiata.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9).

Operatii fara sens: 1) ; 2) 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

. a) Orice sir crescator si nemarginit are limita .

b) Orice sir descrescator si nemarginit are limita .

-a)

-b)

-

-

-Daca

-Daca

-Daca

. Fie , cu proprietatile:

1)

2)

3) este nemarginit

4)

Atunci

-

-Daca este definit prin relatia cu date, ecuatia se numeste ecuatia caracteristica asociata relatiei de recurenta date.

a)Daca

b)Daca , c si d se determina din conditiile initiale.

II. Limite de functii

. Fie s. n. Punct de acumulare al multimii A daca .

. este limita functiei in punctul de acumulare a al multimii E, daca ,

.

-Pentru a arata ca o functie f nu are limita intr-un punct a, este suficient sa alegem doua siruri si , pentru care au limite diferite.

. este limita la stanga a functiei in punctul a -punct de acumulare pentru , daca .

. este limita la dreapta a functiei in punctul a -punct de acumulare pentru , daca .

: Fie , -punct de acumulare pentru E cu proprietatea ca f are limite laterale in a. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

f are limita in a

In aceste conditii

-

-

- Daca .

- Daca .

- Daca .

- Daca .

-

-

-

-

. Fie -punct de acumulare pentru E si . Daca:

1)

2) , atunci g are limita in a si .

-Limita produsului dintre o functie marginita si o functie de limita zero este zero.

. Daca -punct de acumulare pentru E, , atunci .

-

-

-

-.

III. Functii continue

Fie si punct de acumulare pentru E. Spunem ca functia f este continua in a daca .

este continua in a.

O functie este continua pe daca este continua in orice punct din I

Functiile elementare sunt continue.

a) este continua la dreapta in

b) este continua la stanga in

este continua in f este continua la stanga si la dreapta in a.

Fie punct de acumulare pentru E.

Daca si g este continua in b, atunci .

Fie E un interval. are proprietatea lui Darboux pe intervalul E, daca pentru orice puncte din E si orice numar real situat intre , exista .

Orice functie continua , are proprietatea lui Darboux pe .

-Daca este continua si este interval, atunci este interval.

Fie continua. Atunci f este marginita si isi atinge marginile pe acest interval.

-Fie continua a.i. . Atunci exista

O functie este discontinua in daca nu este continua in acest punct.

Un punct se numeste punct de discontinuitate de prima speta daca exista dar nu are loc egalitatea.

Un punct se numeste punct de discontinuitate de speta a doua, daca nu este punct de discontinuitate de prima speta a lui f.

IV Functii derivabile

Se spune ca functia are derivata in daca limita .

Daca , f se numeste derivabila in .

a) are derivata la stanga in pentru care daca exista in .

b) are derivata la dreapta in pentru care daca exista in .

Functia f are derivata in f are derivate laterale in si .

Fie , f continua in . Daca f are derivata in si daca graficul este convex (concav) de o parte a lui si convex (concav) de cealalta parte, se numeste punct de infelxiune al functiei f.

Un punct se numeste punct de intoarcere pentru graficul functiei , f continua in , daca derivatele laterale ale functiei f in sunt infinite si diferite.

Un punct se numeste punct unghiular pentru graficul functiei , f continua in , daca derivatele laterale ale functiei f in sunt diferite si cel putin una este finita.

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

. f este derivabila pe intervalul , daca f este derivabila in orice punct al intervalului I.

-Derivatele functiilor elementare

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

-Reguli de derivare

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Un punct se numeste punct de maxim local al functiei , daca exista o vecinatate V a lui a astfel incat .

Un punct se numeste punct de minim local al functiei , daca exista o vecinatate V a lui b astfel incat .

Un punct de minim local sau de maxim local pentru o functie se numeste punct de extrem local al functiei. Valorile functiei in punctele de extrem se numesc extremele functiei.

Fie , E-intreval iar un punct de extrem din interiorul intervalului. Daca f este derivabila in , atunci .

Fie , . Daca:

f este continua pe ;

f este derivabila pe ;

atunci exista astfel incat .

Fie , . Daca:

f este continua pe ;

f este derivabila pe ;

atunci exista astfel incat .

Fie , . Daca:

f,g continue pe ;

f,g derivabile pe ;

atunci si exista astfel incat .

-Fie , (E-interval) derivabila.

Daca , atunci f este crescatoare (strict crescatoare) pe E

Daca , atunci f este descrescatoare (strict descrescatoare) pe E.

-Fie , E-interval si . Daca:

f este continua in

f este derivabila pe

Exista ,

atunci f are derivata in si . Daca , atunci f este derivabila in si .

Daca f este o functie derivabila pe un interval E, atunci derivata f' are proprietatea lui Darboux pe E.

Fie . Daca:

f,g derivabile pe ;

;

;

Exista ,

atunci exista .

Fie . Daca:

f,g derivabile pe ;

;

;

Exista ,

atunci exista .

Fie , E-interval.

f se numeste convexa pe E

f se numeste concava pe E

Fie o functie de doua ori derivabila pe .

Daca , atunci f este convexa pe .

Daca , atunci f este concava pe .

Fie , E-interval si . Daca f este de doua ori derivabila intr-o vecinatate V a lui si daca exista doua numere astfel incat:

1) ;

2) ;

3) , atunci este punct de inflexiune pentru f.

Fie , punct de acumulare pentu E.

1) Dreapta se numeste asimptota verticala la stanga a functiei f, daca

2) Dreapta se numeste asimptota verticala la dreapta a functiei f, daca

1) Fie a.i. Dreapta se numeste asimptota oblica la ramura spre a functiei f, daca .

2) Fie a.i. Dreapta se numeste asimptota oblica la ramura spre a functiei f, daca .

1) este asimptota oblica la ramura spre a functiei f ,

2) este asimptota oblica la ramura spre a functiei f ,

3) Daca , dreapta se numeste asimptota orizontala spre a functiei f.

4) Daca , dreapta se numeste asimptota orizontala spre a functiei f.