Sisteme de ecuatii

Fie sistemul = b_i

Un sistem de numere x₁, x₂, . , x_n se numeste solutie a sistemului daca inlocuind necunoscutele x₁, x₂, . , x_n toate ecuatiile sunt verificate.

Un sistem care nu are solutii se numeste incompatibil.

Un sistem care are cel putin o solutie se numeste compatibil. Un sistem compatibil se numeste determinat daca are o singura solutie si nedeterminat daca are mai multe solutii.

Notam

a₁₁ a₁₂ . a_1n

a₂₁ a₂₂ . a_2n

A = _{. . . . . . . . .} ; A = matricea sistemului

a_m1 a_m2 . a_mn

a₁₁ a₁₂ . a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ . a_2n b₂

= _{. . . . . . . . .} matricea extinsa a sistemului

a_m1 a_m2 . a_mn b_m

REZOLVAREA SISTEMELOR

Teorema:

Daca d = ; 1ijh-1 este un determinant de ordin h-1 nenul, iar = 1ijh care se obtine prin adaugarea unei linii si a unei coloane cu d este nenul, atunci coloana (respectiv linie) a lui este o combinatie liniara de celelalte coloane (linii).

Consecinte:

c₁: Un determinant este nul daca si numai daca una dintre coloanele (liniile) sale este o combinatie liniara de celelalte coloane (linii).

c₂: Rangul r al unei matrice A este egal cu numarul maxim de coloane (linii) care se pot alege dintre coloanele (liniile) matricei A, astfel incat nici una dintre ele sa nu fie combinatie liniara a celorlalte.

Algoritm de calculare a rangului

Fiind data o matrice nenula, aceasta are un minor de ordin nenul.

Aceasta se bordeaza cu elementele corespunzatoare unei linii sau coloane ramase si calculam minorul.

Daca am gasit un minor de ordin k nenul, il bordam cu elementele corespunzatoare liniilor si coloanelor, obtinand astfel toti minorii de ordin k+1 care-l cotin.

Daca toti acesti minori sunt nuli rangul matricei este de ordin k.

Regula lui Cramer:

Fie d, determinantul matricei A.

Daca d este diferit de zero, atunci un sistem cu n ecuatii si n necunoscute are solutie unica, anume:

x₁ = d₁/d; x₂ = d₂/d; . . ; x_n = d_n/d, unde d_1, d_2, d_n se obtin inlocuind in A coloana 1, 2, . , n cu coloana termenilor liberi.

Teorema lui Kronecker - Capelli

Fie un sistem cu n ecuatii si n necunoscute, A matricea sistemului si matricea extinsa a sistemului.

Un sistem cu n necunoscute si m ecuatii este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului A este egal cu rangul .

rang A = rang

Teorema lui Rouche

Un sistem de ecuatii este compatibil nedeterminat daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

= 0

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor liniare

Fie sistemul (1)

pas 1

Scriem matricea sistemului A si matricea extinsa a sistemului .

pas 2

Calculam rang A min (n, m).

Daca rang A = n (numarul de necunoscute), atunci sistemul este compatibil determinat (solutie unica), sistem Cramer (d0). Calculam
x₁ = ; x₂ = ; . ; x_n = , unde = d.

x_1, x_2, x_n se calculeaza inlocuind in coloana corespunzatoare necunoscutelor x_1, x_2, x_n cu coloana termenilor liberi (STOP).

Daca rang A < n (numarul de necunoscute), atunci trecem la pas 3.

pas 3

Calculam rang min (n, m+1).

Daca rang A rang , atunci sistemul este incompatibil.

S= (STOP).

Daca rang A = rang (regula Kronecker - Capelli), atunci sistemul este compatibil si trecem la pas 4.

pas 4

Conform teoremei lui Rouche toti determinantii caracteristici = 0, atunci sistemul este compatibil nedeterminat.

Alegem necunoscutele principale si ecuatiile principale in functie de rangul lui A si .

Alegem necunoscutele secundare si ecuatiile secundare; necunoscutele secundare se trec in dreapta cu termenii liberi, iar ecuatiile secundare se neglijeaza.

Trecem la pas 5.

pas 5

Rezolvam sistemul in necunoscute principale si ecuatii principale.

Scriem solutia sistemului in functie de necunoscuta secundara.

Discutia sistemelor cu ecuatii liniare

pas 1

Scriem matricea sistemului A si calculam det.A = .

pas 2

Daca det.A 0, atunci rang A = numarul de necunoscute si sistemul este compatibil determinat (solutie unica), sistem Cramer.

x₁ = ; x₂ = ; . ; x_n = .

pas 3

Daca det.A = 0, atunci rang A < numarul de necunoscute. Introducem parametrul in sistem si calculam rang .

pas 4

Daca rang A rang , atunci sistemul este incompatibil.

Daca rang A = rang si = 0, sistemul este compatibil nedeterminat.

pas 5

Alegem necunoscutele principale si ecuatiile principale in functie de rangul lui A si .

Alegem necunoscutele secundare si ecuatii secundare.

pas 6

Rezolvam sistemul si scriem solutiile.

SISTEMUL DE ECUATII LINIARE OMOGENE

Un sistem este omogen daca termenul liber a fiecarei ecuatii este nul.

sistem omogen admite solutia unica: 0; . 0 .

Conditia necesara si suficienta ca un sistem sa admita si alte solutii este: rang A < numarul de necunoscute.

Pentru rezolvare procedam ca la sisteme liniare cu coeficienti liberi 0 (pas 1 pas 5).

SCHEMA LOGICA

SISTEMUL

Scriem matricele

(A, )

rang A < n Calculam rang A = n

rang A min (n, m)

Calculam Solutie unica

rang min (n, m) (compatibil determinat)

sistem Cramer

Rezolvam sistemul

rang A rang rang A rang x₁ = , . ,

= 0 x_n = , . ,

STOP

Alegem: necunoscute

Sistem principale, ecuatii

incompatibil principale si necunoscute

STOP secundare si ecuatii secundare

Rezolvam sistemul

in necunoscute principale

Scriem solutiile

STOP

Sisteme de ecuatii

1. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii cu ajutorul regulii lui Cramer:

a. 2x₁ - x₂ - x₃ = 2 d. 2x - 3y + z = - 1

x₁ + 4x₂ - 2 x₃ = 10 x + 2y - 3z = 0

x₁ - 2x₂ + 2 x₃ = 10 x - 12y +11z = -1

4x - 15y + 9z = 0

b. 2x₁ - x₂ + 3x₃ = 9

x₁ + 2x₂-4 x₃ = -2

-3x₁ + 4x₂ + x₃ = 13

c. x + y + z + t = 1

x + y + z - t = 0

x + y - z + t = 2

x + y =

2. Sa se arate ca sistemul x + z =

y + z = are solutie unica daca si numai daca 0. in acest caz sa se rezolve sistemul.

3. Sa se determine si astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile:

a) 2x - y + z + 2t = 1 b) x - 3y = -2

2x + 2y + 4z +2t = x + 2y = 3

3x - 2y + z + 3t = 1 3x - y =

2x + y =

4. Sa se determine , si astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile, iar matricea sistemului sa aiba rangul 2.

a. 2x₁ - x₂ + x₃ - x₄ = 1 b. 2x₁ - 3x₂ + 4x₃ - x₄ = 1

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -1 x₁ + 9x₂ + x₃ + 3x₄ = 3

x₁ - x₂ + x_{3 +} x₄ = 5x₁ - 6x₂ + 10x_{3 +} x₄ =

5. Sa se rezolve sistemele urmatoare. Discutie, dupa parametri reali , ,si .

a) 5x - 3y + 2z + 4t = 3 b) x + y + z = 1 c) x₁ + x₂ + x₃ = 1

4x - 2y + 3z +7t = 1 x + y + z= 1 x₁ + x₂ +x₃ =

8x - 6y - z - 5t = 9 x + y + z= 1 ²x₁ + ²x₂ +²x₃ = ²

7x- 3y + 7z + 17t=

d) x + y + z = 1 e) x + y + 2z = 1 f) x +(+1)y + (+2)z = 1

x + y + z= 1 x + (2-1)y + 3z=1 x + (+1)y + (+2)z= +3

x + y + z= 1 x + y + (-3)z= 1 x + y + ²z= ³

6. Sa se determine astfel incat sistemul urmator sa aiba solutii nenule, si in caz afirmativ sa se rezolve x - 2y + z - t = 0

2x - y + 3z - 3t = 0

x + y + z + t = 0

2x + ( -1)y + 2z + t = 0.

7. Sa se rezolve si sa se discute, dupa valorile parametrului , sistemul:

(3+ 2)x+ (1+3)y + z + (-1) t = 3

3x+ (3+2)y + z + (-1) t = 1

3x+ (3+2)y + 3z + (-1) t = 1

3x+ 3y + z + (-1) t = 1

x + ay + 2z = 1

8. Sa se discute si sa rezolve sistemul: x + (2a-1)y + 3z = 1

x + ay + (a-3)z = 2a-1

unde a este un parametru real.

x + m²y + 2mz = -2

9. Sa se rezolve si sa se discute sistemul: 2mx + y + m²z = 7

m²x + 2my + z = -5

dupa valorile parametrului m *.

10. Sa se rezolve si sa se discute, dupa valorile parametrului real m, sistemul:

a. x+ y + mz = 1 b. x+ y + z = 2 c. mx + y - z = 0

x-2y + z = m 2x-y -2z = -2 x+(m+1)y + z = z + m -m²

mx + y + z = 0 x + 4y + mz = 8 x - 2y - mz = 3m - m² -2

11. Pentru ce valori ale parametrului , sistemul -x₁ +2x₂ + 2x₃ +x₄ = 1

-2x₁ +x₂ + x₃ +x₄ = 0

5x₁ - x₂ -x₃ -2x₄ =

12. Sa se discute dupa parametrii reali a, b c compatibilitatea sistemului si apoi sa se rezolve:

ax + (c+1)y +(a+2)z = a + 3

bx + (b+1)y + (b+2)z = b+3

x + cy + c²z = c³

13. Se considera sistemul x+ y + z = 6

x-2y -z = p

mx + y + 2z = 5 , unde m, p .

a) Sa se determine m , astfel ca sistemul sa fie compatibil si determinat si in acest caz sa se rezolve.

b) Sa se determine m si p m astfel incat sistemul sa fie compatibil si nedeterminat.

14. Se considera sistemul x+ 2y + z = 0

2x +my +z = 0

x -3y + 2z = 0 , unde m .

a) Determinati multimea valorilor lui m pentru care sistemul are solutie unica.

b) Pentru m=9 aratati ca expresia este constanta.

15. Aratati ca sistemul x = ax + by +cz

y = cx + ay +bz

z = bx + cy +az

admite solutie unica, oricare ar fi a, b, c Z.

16. Sa se determine e astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile:

2x-y - z = 4 3x+ey+z= 5 x+y+2z+3n = 1

a. ex+4y-2z = 11 b. ex+3y+ z = 1 c. ex-y-z-2n = -4

ex -2y+4z= 11 ex+y+3z= 11 2x+3y-z-n = 6

x+2y+ez-n= -4

d. x+y+2z = 1

-3x+y+z = e

x-y+3z = -1

2x+2y+z = 2

17. Sa se determine e astfel incat sistemele urmatoare sa fie incompatibile:

a. ex+2y+5z = 3 b. x+2y+ez = 1 c. x+3y+2z = 1

ex+ y+2z = 2 ex-y+3z = 4 x+ y+ z = e

3x-2y+4z = 10 x+y+4z = -20 x- y+ 2z = -1

x+2y+z = 2

d. ex - y +z+2n= 2

x+3y+z+en = 5

3x- y- z + en = 6

3x- y+3z - n = 6

x + y + z - n = 7

18. Sa se rezolve sistemele urmatoare, discutand dupa valorile parametrilor reali a, b:

a. x + y +2z= 1 b. ax+2y+z = 6 c. x+2y = 5 d. ax+2y = 3

ax+y+ z = b ax+y+z = b ax+y = 7 x+y = b

x+3y= b x+3y = 5

e. x+y = 1 f. ax+y+z = 4 g. ax+by+z = 4 h. x+ay + a²z= 1

2x+y = b x+by+z = 3 x+aby+z = b x+ay+abz = a

ax +y+z = 4 x+2by+z =4 x+by+ez = 1 bx+ a²y+ a²bz= a²b

ax+by+2z = 6 x+ay+ a²z = a³ x+y+z= 1 ax+y+z= b

i. ax+(2b-1)y+3z=1 j. x+by+ b²z = b³ k. ax+by+z= 1 l. x+ay+z=a

ax+by+(b+3)z= 2b-1 x+y+z= 1 a²x+ b²y+z = 1 x+y+az=1

m. 2x-3y+z=-1 n. x + y +z= 2

ax+2y-3z=0 2x-y-2z=-2

x-12y+11z = -1 ex+4y+5z=b

2x+5y+6z=10

19. Se considera sistemul (S): = a^i-1, i= , e * unde

a_ij = e, daca i=j

i, daca ij i, j = . Daca A = e */ S este compatibil. nedeterminat atunci a) A = -3, 1 , b) A= -3,1 ; c) A = 3 , d) A= 1 ; e) A= ; f) A= .

x+3y+2z = 4

20. Sa se determine e astfel incat sistemul x+ y+z = e

x+2y+z = 2

x+y+2z = -1

sa aiba solutie unica.

x-y+z-t = 0

21. Se considera sistemul 2x-y+3z-3t = 0

x+y+z+t = 0

2x+ (e-1)y+2z+e⁵t = 0

sa se determine multimile A si S.

A= e / sistemul admite si solutii diferite de cea banala , S= .

22. Fie sistemul x + y +2z = 1

2x + 2y +z = -1 , . Sa se determine suma +.

x+y-z =

23. Sa se determine valorile parametrilor si pentru care sistemul

2x-y-4z = 6

x - y+z = 2 este compatibil determinat.

2x+y - 4z = 2

, 1ij3

24. Fie matricea A M₃() cu elementele a_ij = 0 , 1i<jh-1

Determinantul lui A are valoarea ?

25. Sa se determine a, b, c astfel incat matricea sistemului sa fie de rang 2, iar sistemul sa fie compatibil. in acest caz sa se rezolve sistemul

2x-y+z-t= 1

x+y+az+t= -1

x-y+z+bt = c

A 26. Sa se determine a astfel incat sistemul sa aiba si solutii nenule si in acest caz sa se rezolve

x-2y+z-t= 0

2x-y+3z-3t = 0

x+y+z+t =0

2x+(a-1)y+ 2z + at = 0.

27. Sa se rezolve folosind regula lui Cramer:

6x+4y+z+2t = 3

6x+5y+3z+5t = 6

12x+8y+z+5t= 8

6x+5y+3z+7t= 8

3x+2y+z-t = 2

28. Se considera sistemul x+ay-2z + 3t = 1

x+4y+5z-7t = b. Sa se determine a,b astfel incat sistemul sa fie dublu determinat.

mx+y-2z = 2

29. Se considera sistemul de ecuatii 2x+y+3z = 1

(2m-1)x+2y+z = n

Sa se determine m, n pentru care sistemul sa fie incompatibil.

ax+y+z = 1

30. Se considera sistemul de ecuatii x+ay+z = 1

x+y+az = 1

Sa se determine a , astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat si sa se determine solutia.

31. Se considera sistemul

4x+(a+1)y+(a+1)z = 0

x+(a+4)y-z = 0

(a+2)x-y+(a+1)z =0

Sa se determine a pentru care admite numai solutia nula.

32. Se considera sistemul = b_i, i= unde a_ij = min i, j i, j= si fie - determinantul sistemului. Pentru n=30 si in ipoteza ca solutia sistemului este (x₁, . , x₃₀) unde x_k =1, k= fie E = b₂₅. Atunci sa se determine si E.

33. Se considera sistemul (S=: = a^i-1, _, i= a * unde

a_ij = a, deci i=j. Fie A = a / (S) este compatibil nedeterminat si

1 altfel.

B = a */ (S) este incompatibil . Daca U =si V = atunci sa se determine U si V.

ax +ay+2z =1

34. Se considera sistemul ax+(2a-1)y+3z= 1

ax+ ay + (a+3)z = 2a-1, a

Daca (a) este determinantul sistemului, A = a / (a) =0 , = ,

B = a / sistemul este incompatibil si = ², atunci sa se calculeze si _.

35. Se considera matricele A= (a_ij)_ij= B= (b_ij) , C= (c_ij)

unde C= AB.

i, i <j i,j =     1, i =j i= , j =

a_ij = 2i³ i = j si b_ij = 0, i j.

j² i >j

Fie S = si T = max c_ij, i= , j = atunci sa se determine S si T.

36. Se considera sistemul de ecuatii: + = 0, k =

si (,, . , ) o solutie nenula. Daca r este rangul matricei sistemului,
= 0 si T = atunci sa se determine r si T.

37. Se considera matricele A = (a_ij)_ij=, B = (b_ij)_ij=, C = (c_ij)_ij=.

Daca C = AB, a_ij= min ix(x-1) - j , i <j i=

3, i = j

1, i >j

b_i1= 1, i=2

-1, i=41

0, in rest.

Daca S = si T = max c_i1, i= atunci sa se calculeze S si T.

38. Se considera sistemul:

x+my+z+t = (m, ) Z x Z. Fie A= (m, ) Z x Z/ Sistemul este

mx+y+z+2t = ² compatibil nedeterminat si pentru (m, ) A fie

x+2y+mz+t = ³ (,,,) o solutie oarecare si

x+y+z-t = ⁴ S(m, ) = min (+++)

39. Se considera sistemul = b_i. i , unde b_i= 999+ i si

si a_ij= j, i = j i, j = . Daca D este determinantul matricei sistemului,

1, in rest.

P = si S = , m= PS unde (, . , ) este solutia sistemului. Sa se determine D si m.

40. Se considera sistemul de ecuatii + = 0, k = . Fie rangul matricei sistemului si (, . , ) o solutie nenula.

Daca = 0 , T = , m= ST. Sa se determine r si m. ix(x-1) - j , i <j

41. Fie a_ij= 3, i=j i, j = .

ix(x-1) - j , i >j

Daca M= max a_ij / i, j = , m = min a_ij i, j = ,

S = , U = atunci sa se determine S, M, m, T, U.

42. Se considera sistemul x_j = 1, i= unde a_ij=

daca D este determinantul matricei sistemului, (, . , ) solutia sistemului si T = , atunci D este cuprins in intervalul . . si T = ?

43. Se considera sistemul x_j = i² + (n²+n-2i), i = , n N 0,1 , unde K N fixat cu proprietatea 1<k<n, iar i, j = . Fie determinantul sistemului, (, . , ) solutia lui si S_n = , T_n = si R_n = atunci sa se determine si R.