Metoda sirului lui Sturm

Metoda sirului lui Sturm

Fie , a < b. Presupunem ca f este continua si derivabila pe .

Def.1. Se numeste sir Sturm asociat functiei f, un sir de functii f₀, f₁. .f_m, continue pe , care satisfac conditiile:

a.       f₀(x) = f(x);

b. pentru

c.daca f_I(x) = 0 pentru rezulta ;

d.daca f₀(x) = 0 pentru rezulta .

Folosind aceasta definitie putem enunta urmatoarea teorema:

"Daca functia f cu derivata continua pe [a,b] si f(a) = 0, f(b) = 0 admite un sir Sturm f₀, f₁,.f_m, atunci numarul radacinilor reale ale ecuatiei f(x) = 0 in intervalul (a,b) este egal cu diferenta dintre numarul variatiilor de semn ale sirului numeric:

f₀(a), f₁(a),.f_m(a)

si numarul variatiilor de semn ale sirului numeric:

f₀(b), f₁(b),.f_m(b)".

In principiu, teorema ne permite numai sa numaram radacinile reale dintr-un interval al ecuatiei f(x) = 0, totusi se poate realiza si o separare a acestora.

Astfel, cunoscand limita inferioara a si cea superioara b ale radacinii se poate aplica teorema pentru numerele cuprinse intre a si b. In cazul in care functia f este un polinom P cu coeficienti reali, fara radacini multiple, putem apela, pentru aflarea radacinilor reale ale ecuatiei P(x) = 0, la teorema:

"Daca P = P₀, P₁ = P, .P_m sunt m+1 polinoame in care P_m este o constanta diferita de 0 iar P_i+1 este restul impartirii lui P_i-1 la P_i cu semn schimbat, atunci numarul de radacini reale ale ecuatiei P(x) = 0 este egal cu numarul de variatii de semn in sirurile:

, , .,

si , , ., "

Dem. Trebuie sa demonstram ca sirul de polinoame P₀, .P_m indeplineste conditiile de a fi sir Surm.

Deoarece P(x) nu are radacinile multiple rezulta ca P(x) si P^I(x) sunt prime intre ele si c.m.m.d.c. (P(x);P^I(x)) = P_m, P_m= const0.

Determinam c.m.m.d.c, utilizand algoritmul lui Euclid:

Verificam daca sunt indeplinite conditiile de sir Sturm:

a. P₀(x) = P(x) la alegere

b. P_m(x)0 din ipoteza

c. Daca P_i(x) = 0 pentru , din relatia (a3) rezulta:

, adica

Demonstram ca doua polinoame consecutive nu se pot anula simultan:

Presupunem contrariul: daca P_i(x) = 0 rezulta P_i+1(x) = 0.

Din relatia rezulta P_i+2(x) = 0, P_i+3(x) = 0, P_m(x) = 0 contradictie.

d. Daca P₀(x) = 0. Rezulta deoarece P₀(x) = P^I(x) iar P(x) si P^I(x) nu au radacini comune.