Calibrarea camerei

Calibrarea camerei

Consideratii generale

O gama relativ mare de aplicatii ale sistemelor de vedere artificiala vizeaza localizarea obiectelor prezente in imagini. Aceasta presupune determinarea coordonatelor tridimensionale ale unor puncte precizate in imagine in raport cu un sistem de referinta ales arbitrar in scena analizata. Calcularea acestor coordonate implica cunoasterea unor parametri specifici dispozitivului de achizitie a imaginii (distanta focala, factori de scalare, etc.) precum si a pozitiei camerei in raport cu sistemul de coordonate ales. Acesti parametrii specifici pot fi determinati pe baza unei proceduri ce poarta numele generic de calibrare a camerei.

Lucrarea de fata prezinta o metoda de realizare a calibrarii camerei. Sunt discutate principalele aspecte teoretice care stau la baza algoritmului de calibrare si sunt propuse o serie de experimente de laborator care vizeaza utilizarea sistemului de vedere artificiala IMAG in determinarea parametrilor de calibrare.

Modelul geometric al formarii imaginii

Modelul geometric al formarii imaginii furnizeaza principalele relatii de calcul ce leaga coordonatele tridimensional ale unui punct intr-un reper 3D particular de cele bidimensionale observate in planul imaginii. La baza acestui model stau legile proiectiei perspectiva. În majoritatea cazurilor aceste legi ofera cea mai buna aproximare in ceea ce priveste aspectul geometric al formarii imaginii.

Modelul proiectiei perspeciva presupune ca imaginea unui punct P(x, y, z) apare la intersectia planului imaginii cu dreapta ce uneste P cu centrul de proiectie F (fig. 1). Punctul F se gaseste la o distanta egala cu f fata de planul imaginii, distanta ce poarta numele de distanta focala. Aceasta distanta este in general necunoscuta depinzand de camera folosita si de focalizarea aleasa.

Asa dupa cum se poate observa in figura 1, sistemul de coordonate ales are o forma particulara. Originea sistemului de coordonate se gaseste in planul imaginii iar axa Ox este perpendiculara pe acesta. O astfel de alegere permite scrierea comoda a relatiilor analitice de calcul ale coordonatelor (u,v) pentru punctul proiectat in imagine in raport cu coordonatele globale (x, y, z). Din punct de vedere practic, o astfel de alegere este greu de utilizat deorece masurarea valorilor acestor coordonate in sistemul propus este practic imposibila.

Fig. 1 Modelul geometric al formarii imaginii

Modelul din fig. 1 permite scrierea imediata a relatiilor de calcul ce exprima pe (u, v) in functie de (x, y, z). Întrucat vectorii respectiv sunt coliniari, avem:

(1)

sau:

(2)

Din relatia (2) coordonatele punctului observat in imagine se pot scrie imediat ca:

(3)

Utilizarea coordonatelor omogene

Coordonatele omogene ofera un mijloc util de reprezentare si manipulare a coordonatelor n-dimensionale pentru un vector oarecare. Daca (x, y, z) sunt coordonatele unui punct intr-un reper tridimensional oarecare, coordonatele omogene ale acestuia sunt reprezentate de un vector cu patru componente avand forma (wx, wy, wz, w), unde w ≠ 0. Se poate observa imediat ca aceasta forma de reprezentare nu este unica, valorile alese pentru w putand fi arbitrare. În mod similar, prin introducerea unei coordonate suplimentare se pot defini coordonatele omogene asociate unui vector de dimensiune n oarecare.

Coordonatele omogene 2D rspectiv 3D ale punctelor P' si P de mai sus se pot scrie:

(4)

iar relatia (3) se poate scrie in forma matriciala:

(5)

sau:

(6)

unde A noteaza matricea corespunzatoare din relatia (5).

Sisteme de coordonate globale

Coordonatele 3D asociate unui punct din scena sunt masurate de obicei fata de un sistem de coordonate global, ales convenabil in scena (fig. 2). Legatura intre sistemul de coordonate global si cel particular prezentat, luat in considerare la dezvoltarea relatiilor (2)-(6), poate fi exprimata in forma:

(7)

unde reprezinta cordonatele omogene ale punctului P in raport cu sistemul global iar T este matricea de transformare intre cele doua sisteme ce inglobeaza translatiile si rotatiile necesare pentru alinierea lor. În raport cu sistemul de coordonate global, relatia (6) se poate rescrie:

(8)

unde matricea C = AxT poarta numele de matricea de calibrare a camerei. Detaliat, relatia (8) se poate scrie:

(9)

unde valoarea coordonatei suplimentare β a fost aleasa ca fiind egala cu 1. Asa dupa cum s-a precizat anterior, valorile parametrului α nu sunt unic determinate. Pentru a inlatura aceasta ambiguitate se considera o forma normalizata a matricei C pentru care c₃₄ = 1.

Daca celelalte componete ale matricei sunt cunoscute atunci, pe baza relatiei (9) se pot determina coordonatele punctului P' proiectat in planul imaginii:

(10)

Fig. 2 Sistemul de coordonate global

Procedura de calibrare urmareste tocmai determinarea componentelor matricei C. Acest lucru se poate realiza daca se cunosc coordonatele din imagine si respectiv din reperul global pentru un numar precizat de puncte. Considerand pe c_ij drept necunoscute, relatia (10) se poate scrie:

(11)

Sistemul descris (11) este liniar si contine 2 ecuatii cu 11 necunoscute. Întrucat fiecare pereche de puncte corespondente furnizeaza un numar de 2 ecuatii, pentru a determina valorile celor 11 necunoscute este necesara cunoasterea a cel putin 6 perechi de astfel de puncte. Uzual numarul de puncte pentru care se face determinarea coordonatelor din imagine respectiv a celor globale este mai mare pentru a putea compensa erorile inerente care apar in faza de masurare a acestor coordonate. Sistemul supradeterminat construit in acest fel are forma generica:

(12)

si se poate rezolva numeric printr-o procedura de minimizarea a erorii in sensul celor mai mici patrate. Matricile Q respectiv S sunt construite cu ajutorul coeficientilor dati de (11) calculati pentru fiecare dintre punctele luate in considerare.

Indicatii de realizare a lucrarii

a)     Utilizand sistemul de achizitie a imaginilor din laborator, dispozitivul de calibrare si programul IMAG se vor determina coordonatele (x, y, z) respectiv (u, v) pentru un numar de 10 puncte. Coordonatele tridimensionale vor fi masurate in raport cu un reper precizat. Coordonatele asociate din imagine vor fi obtinute prin pozitionarea corespunzatoare a mouse-ului in fereastra asociata imaginii analizate.

b)     Folosind programul MATLAB si valorile obtinute la punctul a) se vor construi matricele Q si S corespunzatoare sistemului (12) si se va rezolva acest sistem.

c)     Se va construi matricea de calibrare corespunzatoare solutiei de la punctul b).

d)     Se va achizitiona o noua imagine continand un obiect tridimensional oarecare si se vor determina coordonatele globale (x, y, z) respectiv coordonatele imagine (u, v) pentru doua puncte oarecare.

e)     Folosind matricea de calibrare si coordonatele globale pentru cele doua puncte alese anterior se vor estima pozitiile lor in imagine (u, v) si se vor compara rezultatele obtinute cu cele determinate anterior la punctul d).

f)      Se presupune ca valoarea asociata cotei unui punct oarecare in sistemul de coordonate global, x, este cunoscuta. Utilizand relatiile (10), matricea de calibrare si valorile (u, v) corepunzatoare proiectiei sale in imagine sa se determine localizarea sa tridimensionla (valorile coordonatelor y respectiv z).